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Aufgabe:

Zeige die folgende Aussage:

Fur alle x, y ∈ R gilt
|x|+|y|≤|x+y|+|x-y|


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Ungleichung zu quadrieren, sodass einige Betragsstriche wegfallen. https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_für_reelle_Zahlen Hier auf Wikipedia ist ein recht ähnliches Problem bewiesen, also hatte ich Folgendes:

x^2+2|xy|+y^2≤x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2 Das kann man vereinfachen, indem -2xy und 2xy sich rauskürzt und indem man -x^2 und -y^2 rechnet.

2|xy|≤x^2+y^2

An dieser Stelle komme ich nicht weiter, wie kann ich das Beweisen. Vielen Dank fürs Lesen.

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1 Antwort

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Hallo

benutze (x-y)^2>=0 und die binomische Formel

Avatar von 108 k 🚀

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