Aufgabe:
Zeige die folgende Aussage:
Fur alle x, y ∈ R gilt
|x|+|y|≤|x+y|+|x-y|
Problem/Ansatz:
Ich habe versucht die Ungleichung zu quadrieren, sodass einige Betragsstriche wegfallen. https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_für_reelle_Zahlen Hier auf Wikipedia ist ein recht ähnliches Problem bewiesen, also hatte ich Folgendes:
x^2+2|xy|+y^2≤x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2 Das kann man vereinfachen, indem -2xy und 2xy sich rauskürzt und indem man -x^2 und -y^2 rechnet.
2|xy|≤x^2+y^2
An dieser Stelle komme ich nicht weiter, wie kann ich das Beweisen. Vielen Dank fürs Lesen.
