Definitionsbereich und Ableitungen. f(x) = arctan ((√((1+x)/(1-x)) )

Question

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich in \( \boldsymbol{R} \) der folgenden Funktionen:

(i) \( f(x)=\arctan (\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}) \)

(ii) \( g(x)=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right) \)

b) Zeigen Sie, dass für die Ableitungen gilt:

(i) \( f^{\prime}(x)=(\arctan (\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}))^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} \)

(ii) \( g^{\prime}(x)=\left(\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\prime}=\frac{-1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}} \)

c) Untersuchen Sie die beiden Funktionen \( f \) und \( g \) auf lokale Extremstellen im Inneren inres Definitionsbereiches und auf globale Extremstellen auf dem gesamten Definitionsbereich.

Hinweis zu b): Für \( z \in \boldsymbol{R} \) gilt \( \sqrt{z^{2}}=|z| . \) wenn man weiß, dass \( z \in \boldsymbol{R}, z \geq 0 \) gilt, dann ist natürlich auch \( \sqrt{z^{2}}=z^{1} \)

Answer 1

a)

i) Wurzel muss positiv sein. Beachte auch den Nenner. Der darf nicht 0 werden.

Offensichtlich also D = {ℝ|-1≤x<1}

ii) Das |Argument| muss ≤1 sein.

Das ist der Fall für x≤-1 bzw, x≥1


Naja b) musste halt ableiten (oder Integrieren...was Dir leichter fällt (wohl ableiten hier)).


c) Die Ableitung haste ja schon. Setze sie 0. Untersuche auch die Randstellen.

Comments

Ich frage mal wieder hier mit rein :D!

Für b) die (i) habe ich leider noch nicht geschafft (Nicht gerade einfach!?)..

Wenn ich das alles mit mehrfacher Verkettung und Quotientenregel etc pp ableite komme ich auf:

$$ \dfrac{1}{(\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}})^2+1} * \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}*(1-x)^2} $$

Wie ich das auf die gegebene Ableitung umstellen soll ist mir schleierhaft (Habe schon einige Wege probiert... )...

 

Für (ii) habe ich folgendes: /?qa=blob&qa_blobid=18413771694821894320

Stimmt das soweit?
Wie bekommen ich da den Betrag rein? Geht das agrumentativ??

 

Für c) für (i) bin ich etwas ratlos.

Die notwendige Bedingung ist ja f'(x) muss 0 werden. Das ist ja m.E. nicht möglich, da der Zähler nicht null werden kann und der Nenner nicht 0 werden darf....

Bei den Randextrema siehts bei mir wie folgt aus...

lim(x→-1) (von oben gegen -1)= 0 <--- globales & lokales Minimum an der Stelle x=-1 ?

Ich weiß nur nicht sorecht, wie ich auf den Grenzwert von x→1 (von unten gegen 1) kommen soll?

 

Vlt. kann ja jemand 1-2 kleine Tipps geben?

 

Danke,

Lain

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Zu deiner Rechnung:

Wie bekommen ich da den Betrag rein? Geht das agrumentativ??

Beachte √x^2 = |x|

danach x^2 / |x| = |x| 

Das ist das, was dir der HInweis am Schluss sagen wollte.

Wie ich das auf die gegebene Ableitung umstellen soll ist mir schleierhaft (Habe schon einige Wege probiert... )..

Im linken Bruch hast du unten das Quadrat einer Wurzel (oder umgekehrt(?)) Die Klammerung ist etwas lustig. Lass beides weg. Da du unter der Wurzel nach a) keine neg. Werte haben kannst. Nun diesen Doppelbruch auf einen Bruchstrich vereinfachen.

Beim Bruch daneben kannst du die Wurzel ganz unten auch über den Bruchstrich schreiben.

Nun nimmst du alles auf einen Bruchstrich und kürzt die Wurzeln halb weg.

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Ich habe den Hinweis komplett übersehen, danke! Da steht ja, dass für x gilt, x = sqrt(x²) für x>= 0, das trifft ja hier aber nicht wirklich zu, da der Defbereich D = {ℝ|-1≤x<1} ist oder sehe ich das falsch?? (Denkfehler??)


Zu (i): Danke, ich probiere es mal :)!

LG

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 Da steht ja, dass für beliebige reelle x gilt, x = sqrt(x²) für x>= 0, das trifft ja hier aber nicht wirklich zu, da der Defbereich D = {ℝ|-1≤x<1} ist oder sehe ich das falsch?? 

Ja deshalb musst du dort (ganz unten) den Betrag schreiben.

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Lain, hast du schon das mit der ableitung geschafft? also f(x)? ich bin auch am probieren und kriege es einfach nicht hin -.-

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ich verstehe das bei (ii) mit dem definitionsbereich nicht. wenn x=1 wäre dann wäre dass doch1/1 und das wäre ja dann null?

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Nutze

( arctan (u(x)) )' = u'(x)/( u(x)^2+1 )


Nun nur noch einsetzen ;).


Grüße

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Offensichtlich also D = {ℝ|-1≤x<1}

 

Das ist echtkleiner...

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Okay, aber wieso darf x nicht kleiner als -1 sein?

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Du hast ja eine Wurzel. Eine Wurzel darf nicht negativ werden.

Für x<-1 ist das aber der Fall ;) (Zähler wird negativ, während der Nenner weiterhin positiv bleibt).

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Ich rede aber von (ii) Da ist das arctan (1/x) :)

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Dann verstehe ich die Frage nicht?

1. Meinst Du den arcsin?

2. Ist 1/1 = 1 und arcsin(1) = π/2

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ja mist, ich hab mich vertan, entschuldigung! das wär arcsin(1/x)

ich versteh leider immer noch nicht wie ich da auf den defintionsbereich komme, hab grad einfach ein brot vorm kopf

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Der arcsinus verträgt es nicht, wenn das |Argument| >1 ist (Bedenke, dass der Sinus ja nur zwischen -1 und 1 schwankt). Da das x im Nenner ist, muss das x also (betragsmäßig) ≥1 sein, damit der Bruch selbst ≤1 wird ;).

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Okay das mit dem definitionsbereich habe ich jetzt verstanden,aber darf x dann eigentlich auch negativ sein?

und wegen der Ableitung da habe ich jetzt einfach da eingesetzt in das was du vorgegeben hast, aber ich komme da irgendwie nicht weit.

hier ein Foto meiner Rechnung 

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Ja sieht soweit gut aus. Beim rechten oberen Nenner kannst Du x^2-2x+1 = (1-x)^2 schreiben.

Außerdem (1-x)-(-1)(1+x)= 2

(Die 2 kürzt sich)


Dann mache ich von da Mal weiter.


Nenner selbst:

$$\frac{1+x}{1-x} + 1 = \frac{(1+x) + (1-x)}{1-x} = \frac{2}{1-x}$$


Kehrbruch um Doppelbruch aufzulösen:

$$\frac{(1-x)}{2\cdot(1-x)^2\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}} = \frac{1}{2\cdot(1-x)\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}} $$

Nun nur noch den Vorfaktor in die Wurzel ziehen:

$$ (1-x)\sqrt{\frac{x+1}{1-x}} = \sqrt{\frac{(x+1)(1-x)^2}{1-x}} = \sqrt{1-x^2}$$


Insgesamt also

$$\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$$


Und damit genau das verlangte ;).

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Man man man, danke echt,  jetzt ist mir alles klar...fast^^
bei (1-x)-(-1)(1+x)=2 , wo kommt die -1 her? Wir haben doch nur eine +1 im zähler

Und 2. kann ich das einfach als ersten Schritt angeben, dieses arctan(u(x))'= u'(x)/u(x)^2 +1?

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Quotientenregel:

( (1+x)/(1-x) )' --> (u'v - v'u) / v^2

;)

2. Ja, ich denke das ist legitim.