Äquivalenzungleichung mit betragsstriche beweisen

Question

Aufgabe:

Äquivalenzungleichung beweisen

|x + y| = |x| + |y| ⇐⇒ xy ≥ 0.
Problem/Ansatz:

Ich weiß halt dass wenn x>0 und y>0 dann gilt auch xy ≥ 0, mehr weiß ich halt aber leider auch nicht...

Answer 1

|x + y| = |x| + |y| ⇐⇒ xy ≥ 0.

Erst mal " <=="

xy ≥ 0   ==>  .(  x≥ 0 und  y ≥ 0 ) oder    .(  x≤0 und y ≤ 0 )

1. Fall:   x≥ 0 und y ≥ 0

==>  |x|=x und |y|=y und (da kein Summand negativ ist, ist es auch die Summe nicht.)

       |x+y| = x+y

==>  |x + y| = |x| + |y| weil x+y =x+y .

2. Fall:  x≤0 und y ≤ 0
==>  |x|=-x und |y|=-y und (da kein Summand positiv ist, ist es auch die Summe nicht.)
        |x+y| = -x-y
==>  |x + y| = |x| + |y| weil (-x)+(-y) =-x-y .

andere Richtung: ==>

Sei |x + y| = |x| + |y| . Wegen der Dreiecksungl. gilt jedenfalls   |x + y| ≤ |x| + |y|.

Daraus ist jetzt xy ≥ 0 herzuleiten.

Angenommen, das sei nicht der Fall, dann wäre

( x<0 und y>0 )   oder ( x>0 und y<0) .

1. Fall:  x<0 und y>0  ==>  |x|=-x und |y|=y

                              ==>  |x|+|y| = y-x

und |x+y| hängt nun noch davon ab, ob x+y pos. oder negativ ist.

   1. Unterfall x+y > 0

                ==>  |x+y| = x+y und wegen   |x + y| = |x| + |y|

         wäre x+y = y-x ==>  x = -x im Widerspruch zu x<0.

    2. Unterfall x+y < 0
                  ==>  |x+y| = -(x+y) = -x-y und wegen |x + y| = |x| + |y|
          wäre -x-y = y-x ==>  y = -y im Widerspruch zu y>0.

Der 2. Fall geht (mit zwei Unterfällen) entsprechend.