natürliche bijektive Abbildung

Question

Aufgabe Seien S und T Mengen. Wir schreiben Hom(S,T) für die Menge aller Abbildung von S nach T.

Seien M,N und T Mengen.(Zeigen das es eine Natürliche bijetive Abbildung gibt)

ε: Hom(T,M) × Hom(T,N) ->Hom(T,M × N)

1: Seien f: T -> M und g: T-> N zwei Abbildungen. Zeigen Sie, dass es eine Abbildung h: T-> M×N gibt,so dass p_1 ° h = f und p_{2  °} h =g, wobei p₁ und p₂ die Projektionen bezeichen.(ε: Hom(T,M) × Hom(T,N) ->Hom(T,M × N), das definiert eine Abbildung)

2:Sei h: T->M × N eine beliebige Abbildung. Zeigen Sie, dass h =(f,g),wobei f: T->M und g: T ->M und g:T->N Abbildungen sind, und (f,g)(t):= (f(t),g(t)) ∈ M × N .(γ:Hom(T,M × N)-> Hom(T,M) × Hom(T,N), das definiert eine Abbildung)

3: Zeigen Sie,dass γ die Umkehrfunktion zu ε ist

Problem/Ansatz: Komme mit der Aufgabe gar nicht zurecht,

Comments

Ach ach, die uni will uns schon hochnehmen glaube ich xD

Ich denke wir sind an der gleichen haha

Answer 1

Hallo,

das Problem bei der Aufgabe ist lediglich, bei den komplizierten Bezeichnungen die Nerven zu behalten. Inhaltlich handelt es sich um eine Banalität.

Definition von \(E:Hom(T,M) \times Hom(T,N) \to Hom(T, M \times N)\) durch

$$E(f,g):=f * g \quad \text{ mit } f*g(t):=(f(t),g(t))$$

(Hier weiche ich von der Bezeichnung in der Aufgabe ab, dort wird für \(f*g\) verwendet: \((f,g)\). Das halte ich für ungeschoickt.).

Definition von \(G:Hom(T, M \times N) \to Hom(T,M) \times Hom(T,N) \) durch

$$G(h):=(p_1 \circ h, p_2 \circ h)$$

Berechne \(G \circ E(f,g)\):

$$(f,g) \mapsto h:=f*g \mapsto (p_1 \circ h, p_2 \circ h)$$ Nun gilt für \(t \in T\): $$p_1 \circ h (t)=p_1(h(t))=p_1((f(t),g(t))=f(t)$$

Also ist \(p_1 \circ h=f\), analog für die zweite Komponente, also \(G \circ E(f,g)=(f,g)\)

Berechne \(E \circ G(h)\):

$$h \mapsto (p_1 \circ h, p_2 \circ h) \mapsto  p_1 \circ h * p_2 \circ h$$

Nun gilt für \(x=(m,n) \in M \times N: (p_1 x,p_2 x)=(m,n)=x\). Damit:

$$(p_1 \circ h * p_2 \circ h(t)=(p_1h(t),p_2h(t))=h(t)$$ . Also \(E \circ G(h)=h\)

Insgesamt: \(G \circ E\) und \(E \circ G\) sind jeweils die identische Abbildung

Gruß