Eine bijektive Abbildung zwischen zwei endlichen Mengen zeigen

Question

 

ich muss die folgende Aufgabe zeigen: Sei M eine Menge. Wir schreiben |M| = k ∈ ℕ, wenn M genau k Elemente enthält. Zeigen Sie: Seien M und N endliche Mengen. Dann gibt es eine bijektive Abbildung Φ:M→N ⇔ |M| = |N|.

Ich möchte mich nicht zu weit aus dem Fenster lehnen, aber diese Aufgabe scheint meiner Meinung nach fast trivial. Wenn beide Mengen gleich viele Elemente enthalten, dann gibt es natürlich eine eineindeutige Abbildung zwischen den Mengen. Das Problem liegt einfach darin, dass ich nicht weiß, wie ich das formal korrekt und vollständig zeigen soll und ob ich vielleicht einen Haken übersehen habe. Könnte mir dazu jemand helfen, bitte? 

Answer 1

Hi,

Du musst ja zwei Dinge zeigen.

1) Wenn die Mengen gleichviele Elemente besitzten gibt es eine bijektive Abbildung

2) Wennn es eine bijektive Abbildung zwischen zwei endlichen Mengen gibt, besitzten die Mengen gleich viele Elemente

Zu 1) Hier kannst Du einfach eine Abbildung angeben, z.B. indem Du die Elemente abzählst und mit einem Index versiehst und \( n_i \) auf \( m_i \) abbildest.

Zu 2)

das kannst Du mt einem Widerspruchsbeweis machen, indem Du annimmst es gibt eine bijektive Abbildung aber die Mengen besitzten ungleich viele Elemente.

Comments

Ok dann werde ich das so versuchen. Danke für die schnelle Antwort. 

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Wenn ich annehme, dass M und N verschieden viele Elemente besitzen, muss ich dann auch den Fall beachten, dass eine Menge die leere Menge ist? Und wie sieht dann so eine Abbildung von einer leeren Menge in eine andere Menge oder andersherum aus? 

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Zwischen zwei leeren Mengen gibt es eine bijektive Abbildung, nämliche die leere Abbildung, siehe auch hier

http://de.wikiversity.org/wiki/Endliche_Mengen/Einf%C3%BChrung_mit_1...n/Textabschnitt