Aloha :)
Wir starten mit der bijektiven Abbildung:$$f:\,[0;1]\to[0;1]\,,\,x\mapsto x$$Aus der Zielmenge wollen wir die beiden Randpunkte rausnehmen, um die gewünschte Bijektion zu konstruieren. Daher müssen wir uns etwas für die Funktionswerte \(f(0)=0\) und \(f(1)=1\) überlegen. Wir setzen daher
$$f(0)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\quad\text{und}\quad f(1)=\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$Jetzt ist \(f\) aber nicht mehr injektiv, es sei denn, wir setzen die vorigen Werte \(f(\frac{2}{3})\) und \(f(\frac{1}{3})\) woanders hin. Zum Beispiel können wir festlegen:
$$f\left(\frac{2}{3}\right)=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\quad\text{und}\quad f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}$$Jetzt ist \(f\) aber nicht mehr injektiv, es sein denn, wir legen die vorigen Werte \(f(\frac{8}{9})\) und \(f(\frac{1}{9})\) woanders hin. Zum Beispiel können wir festlegen:$$f\left(\frac{8}{9}\right)=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}\quad\text{und}\quad f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{27}$$Jetzt ist \(f\) aber nicht mehr injektiv, es sei denn...
Damit haben wir eine bijektive Abbildung \(b\) konstruiert:$$b:\,[0;1]\to(0;1)\;,\;x\mapsto\left\{\begin{array}{llll}1-\frac{1}{3^{n+1}} &\text{falls}& x=1-\frac{1}{3^{n}} &\text{ für ein }n\in\mathbb N_0\\\frac{1}{3^{n+1}} &\text{falls}& x=\frac{1}{3^{n}} & \text{ für ein }n\in\mathbb N_0\\x & \text{sonst}\end{array}\right.$$
