Zeigen, dass die Fläche einen endlichen Inhalt hat

Question

Aufgabe:

Der Graph der Funktion \(f \) mit \(f(x) = x+\frac{1}{4\sqrt{x}}, x > 0 \), schließt mit den Koordinatenachsen für \(x ≤ 1 \) eine nach oben nicht begrenzte Fläche ein.

Zeigen Sie, dass diese Fläche einen endlichen Inhalt A hat.

Problem/Ansatz:

Weiß nicht wie ich wirklich anfangen soll :/

und Gruß

Answer 1

Aloha :)

Das Problem ist hier, dass der Funktionsterm$$f(x)=x+\frac{1}{4\sqrt x}\quad;\quad x\in(0;1]$$für \(x\to0\) unendlich groß wird. Du sollst nun untersuchen, ob die Fläche unter der Kurve auch unendlich groß wird oder ob sie endlich ist.

~plot~ (x+1/(4*sqrt(x)))*(x<=1) ; [[0|1,2|0|3]] ~plot~

Dazu bilden wir zunächst eine Stammfunktion zu \(f(x)\):$$F(x)=\int\left(x+\frac{1}{4}x^{-1/2}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}x^{1/2}+\text{const}=\frac{x^2}{2}+\frac{\sqrt x}{2}+\text{const}$$Die Fläche \(A\) unter der Funktion ist also:$$A=\int\limits_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=1-0=1$$Obwohl die Funktion \(f(x)\) für \(x\to\infty\) unendlich groß wird, schließt sie doch eine endlich große Fläche mit der \(x\)-Achse ein. Das ist schon seltsam. Du brauchst unendlich viel Tinte, um den Funktionsgraphen zu zeichnen, aber um die Fläche auszufüllen, reicht endlich viel Tinte.

Comments

Dankeschön :)

Das hat mich um Einiges weiter gebracht.

Was ich aber noch nie gesehen habe ist dieses "+const" was bei dir steht. Was ist das?

Gruß

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Das ist die allgemeine Stammfunktion. Sie ist definiert dadurch, das die ABleitung die zu integrierende Funktion ergibt. Da die Ableitung einer Konstanten immer Null ergibt, ist die Stammfunktion nur bis auf eine Konstante definiert. Die Konstante kann man ermitteln, wenn man die Integrationsgrenzen kennt.

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Ah okay, wir schreiben die Stammfunktion einfach immer in [] eckigen Klammern.

Danke für die Info.

Gruß

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Wenn Du eckige Klammern schreibst, müssen oben und unten an der Klammer auch noch die Grenzen stehen. Und dann bist Du wieder bei der Stammfunktion wie beschrieben.

Answer 2

Weiß nicht wie ich wirklich anfangen soll :/

Vielleicht mit einer Skizze und einer Stammfunktion.

Answer 3

Stammfunktion ist $$ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2}  $$ Das Integral ist $$ F(1) - F(0) $$