Inhalt der Fläche(Begrenzungsfiguren) bestimmen

Question

Aufgabe:

Man bestimme den Inhalt der Fläche, deren Begrenzungsfiguren durch folgende Gleichungen gegeben sind

y = 1/x², y=1, y=9, x= 0.

Ich frage mich vor allem, wie man mit 3 y Werten umgeht und wie man da die Fläche eingrenzt, um die Flächen zu berechnen.

Problem/Ansatz:

1/x² +1+9= 0

~plot~ 1/(x^2);1;9 ~plot~

Comments

du sprichst von drei y-Werten, aber in deiner Aufgbenstellung steht als 3. Gerade x = 0

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Sry, meinte diese Werte y = 1/x², y=1, y=9

Answer 1

Hallo, "Du schon wieder ;-)"

Ich frage mich vor allem, wie man mit 3 y Werten umgeht und wie man da die Fläche eingrenzt, um die Flächen zu berechnen.

Die Devise lautet "Teile und herrsche" - hießt hier, die Fläche in handliche leicht zu berechnende Stücke zu unterteilen.

Du rechnest die Y-Werte zunächst mal in die X-Werte um. Den Zusammenhang gibt die Funktion \(y = 1/x^2\) vor$$y = 1 \to x = \pm1 \\ y = 9 \to x_{1,2} = \pm \frac 13$$und das zeichne in den Graphen ein:

~plot~ 1/(x^2);1;9;[[-3|3|-1|11]];x=1;x=1/3;x=-1;x=-1/3 ~plot~

In der Mitte bleibt ein Rechteck mit der Fläche \(F_1 = 9 \cdot \frac 23 = 6\) stehen. Und links und rechts kannst Du wie immer unter der Funktion integrieren$$F_2 = 2 \int_{x=1/3}^1 \frac 1{x^2}\, \text dx \\ \phantom{F_2} = 2\left[ - \frac 1x\right]_{1/3}^1 = 2(- 1 - (-3)) = 4 $$Und weil \(y=1\) auch eine (untere) Grenze ist, müssen wir am Ende noch das Rechtecke \(F_3 = 2\cdot 1 = 2\) wieder abziehen!

Die gesuchte Fläche \(F\) ist also \(F=F_1+F_2 -F_3= 6+4-2=8\)

Alternative: Bestimme die inverse Funktion $$y = \frac 1{x^2} \to x = \frac 1{\sqrt y}$$und integriere von 1 bis 9 und multipliziere am Ende noch mit 2 um beide Flächen auf beiden Seiten der Y-Achse zu erfassen$$F = 2\int_{y=1}^9 \frac 1{\sqrt y}\, \text dy \\ \phantom{F} = 2[ 2 \sqrt y ]_1^9 = 2(6 - 2) = 8$$

~plot~ 1/sqrt(x);-1/sqrt(x);x=1;x=9;[[-1|10|-3|5]] ~plot~

Comments

... hat niemand bemerkt, dass ich in meiner Antwort die Fläche \(F_3\) vergessen hatte? ich habe das korrigiert (s.o.)

Answer 2

Text erkannt:

Schnittpunkte der beiden Parallelen mit \( f(x) \) bestimmen \( \rightarrow \rightarrow B\left(\frac{1}{3} \mid 1\right) \) und \( C\left(\frac{1}{3} \mid 9\right) \)
\( A_{1}=\int \limits_{0}^{\frac{1}{3}} f(x) \cdot d x=\ldots \)
\( A_{2}=\int \limits_{\frac{1}{3}}^{1} f(x) \cdot d x=\ldots \)
\( A_{3}=\int \limits_{0}^{1} 1 \cdot d x=\ldots \)
Gesamtfläche: \( A_{1}+A_{2}-A_{3} \)