Berechnen SIE den Inhalt der Fläche zwischen den Kurven f und g

Question

Aufgabe:

Berechnen SIE den Inhalt der Fläche zwischen den Kurven f und g über dem Intervall I

f(x)=x^3+x^2

g(x)= x^2+x

I=[-2;1]

Problem/Ansatz:

Ich habe bis jetzt die Intervalle 0 bis -1 und 0 bis 1 (sind die drei nullstellen) berechnet aber welches Intervall brauche ich noch?? Eins fehlt noch.

LG

Answer 1

Du brauchst noch das von -2 bis -1, denn bei -2

soll es ja anfangen.

Answer 2

Aloha :)

Du musst über die Differenz der Funktionen integrieren. Dabei ist zu beachten, dass Integrale oberhalb der \(x\)-Achse positiv und Integrale unterhalb der \(x\)-Achse negativ sind. Daher musst du die Nullstellen beachten. Wir betrachten also die Differenzfunktion:$$d(x)\coloneqq f(x)-g(x)=(x^3+x^2)-(x^2+x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$Die Nullstellen liegen offensichtlich bei \(x=0\), \(x=1\) und \(x=-1\).

~plot~ (x^3+x^2)-(x^2+x) ; x=-2 ; x=1 ; [[-2,5|2|-6|1]] ~plot~

Die Fläche zwischen den beiden Funktionen \(f\) und \(g\) im Intervall \([-2;1]\) ist daher:

$$F=\left|\int\limits_{-2}^{-1}d(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{-1}^{0}d(x)d(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_0^1d(x)\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{-1}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\right|$$$$\phantom{F}=\left|-\frac{9}{4}\right|+\left|\frac{1}{4}\right|+\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{11}{4}$$