Zeigen Sie, dass G × H mit der Verknüpfung... eine Gruppe ist

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass G × H mit der Verknupfung ¨
(a, s) (b, t) := (a ◦ b, s ∗ t)
eine Gruppe ist.
(b) Geben Sie anhand von Eigenschaften der Gruppen (G, ◦) und (H, ∗) ein Kriterium an, wann
die Gruppe (G × H, ) kommutativ ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Problem/Ansatz:

kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen ich komme nicht weiter.

Answer 1

gegeben: Gruppen (G, ◦) und (H, ∗)

und für G × H die Verknüpfung ~ mit
(a, s) ~  (b, t) := (a ◦ b, s ∗ t)

Das muss du die Gruppenaxiome prüfen:

1.  Seien also  (a, s) und (b, t) aus G x H

==>   a und b sind aus G    und    s und t sind aus H   .

==>   a ◦ b ∈ G  und   s ∗ t ∈ H wegen der Abgeschlossenheit

von   (G, ◦) und (H, ∗).  Also  (a ◦ b, s ∗ t)  ∈   G x H , also

ist (    G × H , ~  ) abgeschlossen.

Prüfe entsprechend

2. Assoziativität von ~

3. Existenz eines neutralen El von (    G × H , ~  )
          Tipp ( e_G , e_H )

4. zu jedem El. von G x H existiert ein Inverses.

siehe auch : https://www.mathelounge.de/284784/zeigen-dass-die-menge-g-x-mit-der-verknupfung-eine-gruppe-ist