Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=1/3x^3+ax^2+a^2x.

b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von a.

Problem/Ansatz:

Bisher hab ich folgendes gerechnet:

fa(x)=0

1/3x^3+ax^2+a^2=0  |ausklammern

x(1/3x^2+ax+a^2)=0

x=0 v. 1/3x^2+ax+a^2=0 |*3

          x^2+3ax+3a^2=0  |p-q-Formel

          x=-1,5a +\-(Wurzel aus) 2,25a^2-3a^2

Und da ist auch schon mein Problem denn so würde es ja keine Lösung geben, da man keine Wirzel aus einee negativen Zahl ziehen kann. Ich hab schon öfters über die Aufgabe geguckt und ich finde mein Fehler einfach nicht. Kann mir bitte jemand weiterhelfen schreibe übermorgen schon die Lk-Klausur

Answer 1

-0,75 a² ist nicht immer negativ.

Aber das ist auch egal.

Unabhängig von a hat die Funktion immer eine Nullstelle x=0.

Für a=0 hat die Funktion "zusätzlich" noch die doppelte Nullstelle -1,5*0+\( \sqrt{0} \) (was letztendlich auch nur die bereits vorhandene Nullstelle wiederholt).

Comments

Ich gehe mal davon aus, dass du dich zweimal verschrieben hast.

Ganz am Anfang erscheint das x versehentlich mit im Nenner, danach hast du es hinten einmal komplett weggelassen, bevor es dann als normaler Faktor wieder auftaucht,

Answer 2

Es gibt nur eine Nullstelle, nämlich x=0.

Wenn du den Funktionsgraphen plottest, z.B. mit desmos, und dann a variierst, siehst du, wie sich der Parameter a auswirkt.

:-)

Answer 3

$$fa(x)=1/3x^3+ax^2+a^{2x}$$

$$a>1$$$$fa(-3a)=1/3(-3a)^3+a(-3a)^2+a^{2(-3a)}≈0$$

Zumindest ist in 1. Näherung

$$ x=-3a$$ ein guter Schätzwert für die Nullstelle.

In der zweiten Näherung

 $$x=-3a-1/3a^{-14}$$

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Antwort ergänzt.