Question

Wie beweist man folgende Aussagen nur mit Körper- und Anordnungsaxiomen?

a.) x<y und z<0 ⇒ xz>yz

b.) x>0 ⇒ 1/x>0 ; x<0 ⇒ 1/x<0

Bei a.) kann man z<0 ⇒ -z>0 schreiben und vielleicht die Verträglichkeit mit Multiplikation nutzen und nochmal die gleiche Regel für z anwenden. Ich weiß nur nicht, ob das stimmt bzw. reicht.

Bei b.) kann man wahrscheinlich auch mit der Verträglichkeit Multip. argumentieren.

Irgenwelche weiteren Vorschläge?

Answer 1

Vermute mal so:

Du hast doch wohl gegeben: Für alle a,b,c aus K

(i)  a<b ==>  a+c < b+c    und (ii) a>0  und b>0 ==> a*b > 0

Dann gilt nach (i)

x<y   ==>    x+(-x) < y+(-x) ==>   y-x > 0

und z<0  ==>  z+(-z) < 0+(-z) ==>   -z > 0

Also mit (ii)   (y-x)*(-z) > 0

 ==>   -yz + xz > 0

 ==>   yz+ (  -yz + xz )  >   yz + 0

        ==>  (yz+ (  -yz) )+ xz  >  yz

 ==>      xz >  yz           q.e. d.

Für b) wäre gut, wenn man hätte a>b und c>0 ==>  ac > bc.

Das kann man aber auch (ähnlich wie bei a)  herleiten a>b und c>0

            ==>   a-b>0   und  c > 0    mit (ii) gibt das

          ==>        (a-b) * c > 0

          ==>           ac - bc > 0

           ==>               ac > bc .

Und dann kann man auch damit argumentieren indem man

bei x>0 die   Annahme     0 >  1/x   mit x multipliziert und

den Widerspruch             0  >   1    erhält.