Aussagenbeweise mithilfe von Axiomen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für reelle Zahlen a, b die folgenden Aussagen:

(a) a>b ∧ b>0 =⇒ a < b.
(b) Falls a>0 und b≥0 erfüllt sind, gilt die folgende Aquivalenz:

a·a > b·b ⇔ a>b

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Problem diese Aufgabe zu lösen. Ich hab versucht mit dem Körperaxiom des inversen Element der Multiplikation zu arbeiten, bin aber nicht weiter gekommen. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Comments

(a) a>b ∧ b>0 =⇒ a < b.

Das erscheint mir irgendwie sinnlos.

Im Übrigen musst du bei Aussagen mit < usw. von einem angeordneten Körper ausgehen:

https://mathepedia.de/Angeordnete_Koerper.html

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Mir ist gerade aufgefallen, dass bei a) folgt a^-1 < b^-1 und die Potenzen nicht mit kopiert wurden. Ich habe die a) aber jetzt lösen können :)

Answer 1

a>b ∧ b>0 =⇒ a < b.

Das kann nicht stimmen. Gegenbeispiel a=5 und b=3.

b)     a·a > b·b ⇔ a>b Vielleicht so:

         a·a > b·b

=>  (a·a - b·b) > 0

=>  (a-b)*(a+b) > 0

und weil a>0 und b≥0 ist auch a+b>0

=>   a-b > 0

a>b         

umgekehrt ähnlich:

       a>b

=>  a-b > 0
und (s.o.)   a+b>0

==>  (a-b)*(a+b) > 0

=>  (a·a - b·b) > 0

==>    a·a > b·b      q.e.d.