Bestimme die Bogenlänge b dieses Kreisausschnittes.

Question

Aufgabe:

a.)Schätzen des Flächeninhalts des Ziffernblattes.

b) Im Inneren der Uhr befindet sich das mechanische Uhrwerkmit einem3, 9 m langen Pendel (siehe Skizze). Das Pendel überstreicht einen Winkel von 58,7°. Bestimme die Bogenlänge b dieses Kreisausschnittes.

c.) Berechne den Abstand zwischen der Umkehrpunkten A und B des Pendels.

Problem/Ansatz:

Bei b bin ich folgendermaßen vorgegangen:

Zu b.) Geg.: cos alpha=  58,7° : 2= 29,35°, Hypetenuse 3,9m
Cos alpha = Ankathete/(Hypotenuse )  / Hypotenuse
Ankathete= Cos alpha * Hypotenuse
Ankathete= 29,35 cos alpha* 3,9m
Ankathete = 3,4m

Formel Bogenmaß:
b= 2*pi*r *alpha/(360°)        b= 2*pi*3,4m *(alpha180 °)/(360°) 
b= 10,6m

Kann jemand schauen, ob das hinkommt. Bei c) komme ich nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

zu b) Der Umfang eines Kreises ist \(U=2\pi r\). Das entspricht einem Winkel von \(360^\circ\). Hier hast du nur einen Winkel von \(\alpha=58,7^\circ\). Also ist die gesuchte Bogenlänge:$$b=2\pi\cdot\,3,9\,\mathrm{m}\cdot\frac{58,7}{360}\approx3,9956\,\mathrm{m}\approx4,0\,\mathrm{m}$$

zu c) Für die Bestimmung der halben Strecke \(\frac{1}{2}\overline {AB}\) können wir den Satz des Pythagoras verwenden, sie bildet ja eine Kathete \(a=\frac{1}{2}\overline{AB}\) eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist \(c=3,9\,\mathrm m\). Die andere Kathete (Höhe) ist \(b=3,9\,\mathrm m-0,5\,\mathrm m=3,4\,\mathrm m\). Das heißt:

$$a^2+b^2=c^2\;\Rightarrow\; a^2=c^2-b^2\;\Rightarrow\; a=\frac{1}{2}\overline{AB}=\sqrt{(3,9\,\mathrm m)^2-(3,4\,\mathrm m)^2}\approx1,9105\,\mathrm m$$Die gesamte Stecke \(\overline AB\) ist doppelt so lang:$$\overline {AB}\approx3,82\,\mathrm m$$

Answer 2

Warum betreibst du bei b) diesen Aufwand?

Da der Winkel nur 58,7° ist und nicht 360°, ist die Bogenlänge 58,7/360 des Umfangs von einem vollen Kreis mit dem gleichen Radius. Der Radius ist mit 3,9 m doch bereits gegeben!