Bogenlänge eines zykloiden berechnen

Question

Ich stehe vor dieser Aufgabe:

Berechne die bogenlänge der zykliode ( x=r*(t-sin(t)) ; y=r(1-cos(t)) für r=1 und für t zwischen 0 und 2pi

durch r=1 kann man r vernachlässigen, dann steht da, es gilt zu lösen folgendes integral: 1-cos(t)=2sin^2(t/2)

Was ich vor allem nicht verstehe ist,wie

t-sin(t)=2sin^2(t/2) ist 

Ich würde das integral aus aus Wurzel((1+cos^2(t)+(t^2+sin^2(t)) rechnen

Bitte um Hilfe danke

Answer 1

$$x(t)=t-sin(t)\\\dot{x}(t)=1-cos(t)\\y(t)=1-cos(t)\\ \dot{y}(t)=sin(t)$$  $$L=\int_a^b \sqrt{\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2}dt$$    $$L=\int_0^{2\pi} \sqrt{(1-cos(t))^2+(sin(t))^2}dt=\int_0^{2\pi} \sqrt{(1-2cos(t)+cos^2(t)+sin^2(t)}dt=\int_0^{2\pi} \sqrt{2-2cos(t)}dt$$ Mit Hilfe von deinem Hinweis \(1-cos(t)=2sin^2(\frac{t}{2})\) sollte das Integral kein Problem mehr sein.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=curve+length+of+%7Bt-sin%28t%29%2C1-cos%28t%29%7D+from+t%3D0+to+2pi