Wie packe ich ein Verkehrsnetz in ein LGS?

Question

Aufgabe:

Wie packe ich ein Verkehrsnetz in ein LGS mit Drosselung?

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 600 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 500 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 300 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 200 \end{pmatrix} \)

Ist dieses LGS so korrekt und ist die Sperrung von AD möglich ohne eine Drosselung des Zuflusses?

Answer 1

Aloha :)

Das Gleichungssystem ist korrekt, wenn die Verbindung von \(C\) nach \(D\) ein \(x_3\) und kein \(x_2\) ist. Eine Sperrung von \(AD\) bedeutet, dass \(x_4=0\) wird. Wir müssen also prüfen, ob das LGS für \(x_4=0\) eine Lösung hat. Dazu streichen wir die letzte Gleichung und die letzte Spalte, also die für \(x_4\):

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}600\\500\\300\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}600\\-100\\300\end{pmatrix}$$

Wegen \(x_2+x_3=200\) ist auch die vierte Gleichung erfüllt. Die Verbindung AD kann also gesperrt werden, ohne dass der Verkehrsfluss gedrosselt werden müsste.

Comments

Warum wird auch die letzte Gleichung gestrichen?

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Ich habe ja nur 3 Unbekannte, also brauche ich 3 Gleichungen zum Lösen. Ich hätte auch eine andere als die letzte Gleichung streichen können. Wichtig ist, dass die gefundene Lösung am Ende auch die gestrichene Gleichung erfüllt. Andernfalls wäre das gesamte Gleichungssystem nicht lösbar und der Verkehrsfluss müsste doch gedrosselt werden.

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Ach ja stimmt!

Dann noch einmal Vielen Dank!

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Hallo Tschakabumba,

danke für deine hilfreiche Antwort! Ich finde sie mathematisch sehr nachvollziehbar.

Leider verstehe ich von der Logik her absolut nicht, wo die 100 Autos bleiben, die bei A ins System fahren und bei B nicht wieder rauskommen?

Bei A fahren ja 600 Autos ins System, bei B kommen aber nur 500 Autos wieder heraus? Die Autos können ja nicht nach C abbiegen, weil da eine Einbahnstraße in die andere Richtung ist. Vielmehr müssten auch noch Autos von C kommen... Also müsste der Überschuss sogar größer als 100 Autos sein...

LG das Kamel