(x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ ( x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B)
Das bedeutet ja. Wenn bekannt ist x ∈ B ⇒ x ∈ C #
Dann sind die beiden Bedingungen
x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C) und
x ∈ A ∧ x ∈ B.
Also musst du unter der Annahme, dass x ∈ B ⇒ x ∈ C stimmt
zeigen, (1) ==> (2) und (2) ==> (1) .
Also los: Es gelte # und (1)
Und es sei vorhanden ein x mit
x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C)
Wegen # gilt dann
x ∈ C ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C)
und mit der Distributivität von ∧ und ∨ gibt das
(x ∈ C ∧ x ∈ A) ∨ ( x ∈ C ∧ x ∉ C)
Nun ist aber ( x ∈ C ∧ x ∉ C) = 0, also wird das
(x ∈ C ∧ x ∈ A) ∨ 0 also
x ∈ C ∧ x ∈ A .
Damit hat man jedenfalls x ∈ A .
Weil aber anfangs (1) galt, hat man durch den 1. Teil
von (1) auch x ∈ B und damit x ∈ A ∧ x ∈ B,
also gilt (2).
So: (1) ==> 2 ist erledigt.
Jetzt (2) ==> (1).
Man weiß also # und (2)
==> x ∈ B, weil das ja ein Teil der Konjunktion in (2) ist.
Bleibt zu zeigen x ∈ A ∨ x ∉ C.
Weil x ∈ A auch ein Teil der Konjunktion in (2) ist, gilt
das jedenfalls und bei einer Oder-Verbindung mit
einem wahren Teil ist das ganze auch wahr.
Also ist (1) gezeigt. Sogar ohne die Vor. #
