0 Daumen
249 Aufrufe

Beweis der Mengenlehre


(x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ ( x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B)


Ich weiß überhaupt nicht, wie ich voran gehen sollte. Es wäre sehr lieb, wenn Sie mir diese Aufgabe ausführlich und verständlich machen würden

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

(x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ ( x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B)

Das bedeutet ja. Wenn bekannt ist x ∈ B ⇒ x ∈ C    #

Dann sind die beiden Bedingungen

x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C)    und

x ∈ A ∧ x ∈ B.

Also musst du unter der Annahme, dass x ∈ B ⇒ x ∈ C stimmt

zeigen, (1) ==> (2)  und (2) ==> (1) .

Also los: Es gelte # und (1)

Und es sei vorhanden ein x mit

x ∈ B ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C)

Wegen # gilt dann

x ∈ C ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ C)

und mit der Distributivität von    ∧ und  ∨  gibt das

(x ∈ C ∧ x ∈ A) ∨ ( x ∈ C ∧ x ∉ C)

Nun ist aber  ( x ∈ C ∧ x ∉ C) = 0, also wird das

(x ∈ C ∧ x ∈ A) ∨ 0    also

    x ∈ C ∧ x ∈ A .

Damit hat man jedenfalls  x ∈ A .

Weil aber anfangs (1) galt, hat man durch den 1. Teil

von (1) auch  x ∈ B und damit      x ∈ A ∧ x ∈ B,

also gilt (2).

So: (1) ==> 2 ist erledigt.

Jetzt (2) ==> (1).

Man weiß also # und (2)

==>   x ∈ B, weil das ja ein Teil der Konjunktion in (2) ist.

Bleibt zu zeigen  x ∈ A ∨ x ∉ C.

Weil   x ∈ A auch  ein Teil der Konjunktion in (2) ist, gilt

das jedenfalls und bei einer Oder-Verbindung mit

einem wahren Teil ist das ganze auch wahr.

Also ist (1) gezeigt. Sogar ohne die Vor. #

Avatar von 289 k 🚀

vielen Dank für dein Antwort

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community