Question

Aufgabe: Wie lautet die Gleichung der Randkurve f ?

Problem/Ansatz:

Gegeben ist f(x)=ax⁴+bx²+c

Scheitelpunkt S(0|1)

Weiterer Punkt P(2|1,5)

Ich komme nicht auf f(x)

Answer 1

Scheitelpunkt S(0|1)

Weiterer Punkt P(2|1,5)  ==>   f(2) = 1,5 

Wenn es einen Scheitelpunkt hat, ist es von der Form

  a(x^2 - b ) ^2 + c   mit  b=0 und c=1 also

f(x) = a*x^4 + 1   und    f(2) = 1,5  gibt dann a = 1/32 .

==>   f(x) = 1/32 * x^4 + 1

sieht so aus : ~plot~ 1/32 * x^4 + 1  ~plot~

Answer 2

du weisst

f(0)=1

f'(0)=0

f(2)=1,5

das gibt 3 Gleichungen für a,b,c

Gruß lul

Answer 3

Da der Scheitelpunkt bei S(0|1) liegt,  verschiebe ich alle Werte um eine Einheit nach unten:

S_1(0|0)  ;   P_1 (2|0,5)  Die Parabel f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse (warum?) und mache weiter mit der Nullstellenform der Parabel

p(x)=a*(x-N1)(x+N2) (x-N3)(x+N4)  → p(x)= a* x^2 (x-N3)(x+N4) Da nun die beiden anderen Nullstellen gleichen Abstand von S haben: p(x) = a* x^2 (x^2-N^2)

P_1 (2|0,5)

p(2)  =  4a (4-N^2)

4a (  4-N^2)  = \( \frac{1}{2} \)

a=  \( \frac{1}{32-8 N^2} \)

p(x)= \( \frac{ x^2   (x^2-N^2)  }{32 - 8 N^2} \)

Das ist nun eine Funktionenschar, somit auch das ursprüngliche f(x)

mfG

Moliets

Comments

Achtung: Der Fragesteller kann aus meinem Fehler lernen.

mfG

Moliets

---

Diese Parabel 4.Grades ist symmetrisch zur y-Achse und besitzt einen Scheitelpunkt S(0|1), dann kann man auch die Nullstellenform der Parabel verwenden. Hierzu verschiebe ich die Parabel um eine Einheit nach unten:

S1( 0 |0 ) ergibt 4-fache Nullstelle und P1 ( 2 | 0,5 ) zur Ermittlung von a:

p ( x )  =  a•\( x^{4} \)

p ( 2 )  =  16 a

16 a =0,5

a= \( \frac{1}{32} \)

p ( x )  =  \( \frac{1}{32} \)• \( x^{4} \)   → f ( x ) =  \( \frac{1}{32} \)• \( x^{4} \)+1

mfG

Moliets