Wie lautet der Rauminhalt derider Funktion?

Question

Ich habe hier folgendes Beispiel:

Das Flächenstück, das vom Graphen der Funktion \( f: y=f(x), \) der \( y \) -Achse sowie den Geraden \( y=c \) und \( y=d \) begrenzt wird, rotiert um die \( y \) -Achse. Wie lautet der Rauminhalt des entstehenden Drehkörpers?

y= e^x

Problem:

Ich habe bis jetzt noch nie ein solches Beispiel gerechnet, und bin verwirrt wegen dem y= c und y= d....

Wie muss ich in diesem Beispiel vorgehen? (Bitte mit Erklärung:))

Comments

Wissen wir etwas über die Konstanten \(c\) und \(d\)? Sind z.B. beide \(\ge1\)?

Answer 1

Formel V = pi * Integral von c bis d über x^2 dy

y = e^x ==>  x = ln(y)  ==>  x^2 = ( ln(y) ) ^2 .

Stammfunktion ist y * ( ln(y)^2 - 2ln(y) + 2 )

also ist das

V = pi * ( d *  ( ln(d)^2 - 2ln(d) + 2 ) -  c*( ln(c)^2 - 2ln(c) + 2 ) )

Answer 2

Aloha :)

Betrachte den Punkt \((x;y(x))\) auf dem Funktionsgraphen. Bei der Rotation um die \(y\)-Achse entsteht auf der Höhe \(y\) ein Kreis mit Radius \(x\) und der Fläche \(\pi\,x^2\). Alle diese Kreisflächen müssen wir entlang der \(y\)-Achse summieren:$$V=\int\limits_{c}^{d}\pi x^2\,dy$$Hier ist \(y=e^x\) und daher \(x=\ln(y)\). Das setzen wir ein:

$$V=\int\limits_c^d\pi \ln^2(y)\,dy=\pi\left[y\,(\ln(y)-1)^2+y\right]_c^d=\cdots$$Ab jetzt wäre es ganz gut, etwas mehr über \(c\) und \(d\) zu wissen, um weiterrechnen zu können. Falls nichts weiter bekannt ist, haben wir:

$$V=\pi\cdot(\,F(d)-F(c)\,)\quad;\quad F(x)\;:\!=x(\ln(x)-1)^2+x$$