Neumann-Reihe einer Diagonalmatrix

Question

ich benötige dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Ich soll zeigen, dass folgendes gilt:

Sei \( ||\cdot|| \) eine beliebige Matrixnorm.

Für die Matrix \( D=diag(d_1,\ldots,d_n) \) mit \( |d_1|,\ldots, |d_n|<1 \) gilt: \( \sum_{k=0}^{\infty} D^k \) konvergiert.

Ich bin für jeden Tipp dankbar, bin bisher nach langem Grübeln noch auf keinen fruchtbaren Ansatz gekommen.

Answer 1

Hallo,

überlege zunächst: Wenn D eine Diagonalmatrix ist, was ist dann D^2, D^3 ...?

Ergebnis: \(D^k\) ist ebenfalls eine Diagonalmatrix und zwar mit den Einträgen \(d_i^k\) aud der Diagonalen.

Also sind in der Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty} D^k\) alle Einträge gleich 0 oder gleich einer geometrischen Reihe über \(d_i^k\), also konvergent.

Jetzt ist die Bemerkung über die Matrizennorm etwas merkwürdig. Jedenfalls ist es so, dass alle Matrizennormen äquivalent sind und Konvergenz im Raum der Matrizen wie im \(\mathbb{R}^n\) gleichbedeutend mit Konvergenz in jeder Komponente ist - und diese Eigenschaft haben wir ja oben bewiesen.

Gruß

Comments

Super, vielen Dank!