Ableitung natürlicher Logarithmus mit Wurzeln

Question

Aufgabe:

f(x) = ln*(x+\( \sqrt{x^2+a^2} \))

Ergebnis:

f‘(x) = 1/(\( \sqrt{x^2+a^2} \) )
Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf die erste Ableitung ? Mir ist vor allem nicht klar, wieso das x vor der Wurzel verschwindet ?

:)

Answer 1

Aloha :)

Hier muss die Kettenregel mehrfach hintereinander ausgeführt werden. Ich mache das mal ausführlich vor:

$$f'(x)=\left[\,\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)\,\right]'=\underbrace{\frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left[x+\sqrt{x^2+a^2}\right]'}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}}\left(1+\left[\sqrt{x^2+a^2}\right]'\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}}\left(1+\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{2x}_{=\text{innere}}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{x+\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right)}{x+\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

Comments

Vielen Dank!

Ich verstehe alles bis auf die innere Ableitung in Zeile 3 - warum wird bei der inneren Ableitung der Wurzel nicht 2x+2a nachdifferenziert?

VG

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Da in dem Term nirgendwo der Term 2x-2a steht, kann er auch nicht nachdifferenziert werden. Da stand nur der Faktor x²-a², und der wurde nachdifferenziert.

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Die Ableitung von \(x^2+a^2\) ist ja gleich \(2x\), weil \(a\) eine Konstante ist. Die innere Ableitung der Wurzel ist also \(2x\).

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Ok vielen Dank - jetzt ist alles klar!:)

Answer 2

f(x) = LN(x + √(x^2 + a^2))

Zunächst mal sieht das so aus

f'(x) = 1/(x + √(x^2 + a^2))·(1 + 1/(2·√(x^2 + a^2))·(2·x))

Das musst du jetzt nur noch vereinfachen. Willst du das mal probieren?

Answer 3

ln f(x) wir abgeleitet zu f '(x)/f(x)

Du musst das Argument des log nachdifferenzieren.