was muss man da tun, um die Summe durch eine Formel oder sowas ersetz?

Question

Aufgabe:Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz:
(a) an :=∑1/k, von k=n+1 bis 2n

…

Problem/Ansatz: was muss man da tun, um die Summe durch eine Formel oder sowas ersetz ?

Answer 1

Du brauchst gar nicht unbedingt ne Formel.

Du hast doch eine Summe mit n positiven Summanden.

Das ist also immer ein positiver Wert, also ist 0 eine untere Schranke.

Andererseits sind alle Summanden kleiner gleich 1/(2n) .

Die Summe der n Stück also kleiner gleich  n * 1/(n+1)  < 1

Also ist 1 eine obere Schranke.

Monotonie: Wenn du a_n und a_n+1 vergleichst , dann hast du bei a_n+1 

dann hast du ja ungefähr die gleichen Summanden, allerdings fällt bei

an+1 der 1. Summand von an weg (also 1/(n+1)  und es kommt 1/(2(n+1))  hinzu.

Wenn also die Summe bei an vom 2. bis zum letzten den Wert S hat, dann gilt

an = 1/(n+1)  + S   und  an+1 =  S +  1/(2(n+1))

==>  an+1 - an = S +  1/(2(n+1)) - ( 1/(n+1)  + S ) =  1/(2(n+1)) - 1/(n+1)

= 1/(2(n+1)) - 2/(2(n+1))  =    -1/(2(n+1)). Das ist immer negativ.

==>  an+1 < an für alle Folgenglieder

==> Die Folge ist monoton fallend .

Und jede monoton fallende Folge, die nach unten beschränkt ist,

ist konvergent.

Comments

1/2 ist keine obere Schranke und die Folge ist auch nicht monoton fallend. 1/(2n+1) vergessen?

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\(\displaystyle a_2=\sum_{k=3}^4\frac1k=\frac13+\frac14=\frac7{12}>\frac6{12}=\frac12\).
Wie kann \(\tfrac12\) eine obere Schranke sein?

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Oha, die sind alle kleiner gleich 1/(n+1) .

Danke, das korrigiere ich.

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$$\quad a_{n+1}-a_n=\sum_{k=n+2}^{2n+2}\frac1k-\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\\=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}\\=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0.$$Die Folge ist streng monoton steigend.