Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: a^{m+n} = a^m * a^n. Hinweis: Lassen Sie m fest, und induzieren über n.

Question

Kann mir jemand bei dem Induktionsanfang behilflich sein, wen ich folgendes lösen soll?

Sei a ε ℝ und m,n ε ℕ. Dann gilt: a^{m+n} = a^m*a^n

Hinweis: Lassen Sie m fest, und induzieren über n.

Wir hatten es als Beispiel bisher immer nur, dass wir eine fremde Variable hatten und diese dann gleich 1 gesetzt haben. Nun weiß ich aber nicht, wie ich es angehen soll, wenn ich 3 ,,unbekannte" habe.

Kann ich mir dann für a und m fixe Zahlen aussuchen um den Induktionsanfang mit n=1 zu zeigen?

Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.

Answer 1

 

Du kannst a und m als Variable stehen lassen und über n induzieren:

a^m+n = a^m*aⁿ

 

Verankerung - Gleichung gilt für n = 1:

a^m+1 = a^m * a = a^m * a¹

 

Annahme:

Gleichung gilt für n

 

Schluss:

Dann gilt die Gleichung auch für n + 1:

Zu zeigen

a^m+n+1 = a^m * aⁿ⁺¹

a^m+n+1 = a^m+n * a | Nach Annahme gilt dann

a^m * aⁿ * a =

a^m * aⁿ⁺¹

was zu beweisen war.

 

Besten Gruß

Comments

Diese Argumentation hat einen kleinen Haken. Die Aussage soll für  a ∈ ℝ  gelten, aber 0⁰  ist nicht definiert.

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Danke, da hast Du Recht.

Da m, n Elemente aus ℕ sind, kommt "hoch 0" aber ohnehin nicht vor.

Ich habe den Induktionsanfang entsprechend verändert :-)

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Lieben Dank erstmal :)

dh, ich kann die Potenzgesetze als ,,bekannt" voraussetzen? Ansonsten könnte ich ja nicht zeigen, dass der Anfang richtig ist.

Lg

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Gern geschehen!

Ich weiß nicht, ob Du die Potenzgesetze als bekannt voraussetzen kannst - wahrscheinlich nicht, weil sonst der ganze Beweis unnötig wäre :-)

Vielleicht müsstest Du mit der Definition einer Potenz anfangen:

"a^m bedeutet, dass a m-mal mit sich selbst multipliziert wird."

etc.