Reelle Nullstellen eines Polynoms

Question

Aufgabe: Reelle Nullstellen

Zeigen Sie, dass 2x²⁰²⁰+5x²-10x+11 keine reellen Nullstellen besitzt.

Ich habe es mit Quadratischer Ergänzung probiert, komme jedoch nicht weiter.

Für jede hilfe dankbar LG

Answer 1

Der Teil 5x^2-10x+11 ist immer positiv.

Das kannst du z.B. durch quad. Erg. zeigen.

Und 2*x^(2020) ist jedenfalls (gerader Exponent) immer größer oder gleich 0,

also ist deren Summe immer positiv.

Comments

Mit welcher Zahl, würdest du in diesem Beispiel die Quadratische ergänzung machen?

ich habe mit 10/2 ergänzt und bin auf x²-2x+5 gekommen, wo ich nicht weiter wusste.

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5x^2-10x+11

= 5 *( x^2 - 2x + 11/5 )

= 5 *( x^2 - 2x + 1 + 6/5 )

= 5 *(   (x-1)^2  + 6/5 )

Answer 2

5x² - 10x + 11 hat keine reelle Nullstelle.

Es ist 5·0² - 10·0 + 11 > 0, also ist 5x² - 10x + 11 > 0 für alle x ∈ ℝ.

Außerdem ist 2x²⁰²⁰ ≥ 0 für alle x ∈ ℝ.

Also ist auch 2x²⁰²⁰ + 5x² - 10x + 11 > 0 für alle x ∈ ℝ.

Insbesondere ist 2x²⁰²⁰ + 5x² - 10x + 11 ≠ 0 für alle x ∈ ℝ.

Comments

Erstmal danke, und wie kann ich zeigen das ≠0 für alle x∈ℝ? mit

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das ≠0 für alle x∈ℝ?

Was soll ≠0 für alle x∈ℝ sein?

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Nichts, hat sich geklärt danke :)

Answer 3

5x^2-10x hat den tiefsten Punkt bei (1|-5).

Addiere 11 --> Der Tiefpunkt liegt bei (1|6), also oberhalb der x-Achse.

Addiere 2x^{2020}, dessen Wert nie negativ ist, wenn x eine reelle Zahl ist...

Der Tiefpunkt liegt in der Nähe von (0,9945|6). (Mit desmos herausgefunden.)

:-)