Für welche reelen Zahlen gilt x^4 + 3x^3 - 4x ≤ 0?

Question

Aufgabe:

Für welche reelen Zahlen gilt x⁴ + 3x³ - 4x ≤ 0 ?

Problem/Ansatz:

x(x³+3x²-4) ≤ 0

Polynomdivision mit x₀ = 1

(x³+3x²-4):(x-1)= x²+4x+4

-> (x-1)(x+2)²

und jetzt?

Danke schomal!

Answer 1

sieht so aus:

~plot~ (x-1)(x+2)^2 ~plot~

Also sind die Funktionswerte ≤ 0 für alle x≤1.

Kannst du ja damit begründen, dass bei 1 eine Nullstelle

ist und bei -2 ein rel. Maximum mit Funktionswert 0.

Answer 2

Nullstellen sind bei -2, 0 und 1, wie du herausgefunden hast.

Diese teilen die reellen Zahlen in vier Bereiche ein:

       x < -2

        -2 < x < 1

        1 < x < 0

        0 < x

Innerhalb eines Bereiches ändert sich das Vorzeichen der Werte nicht. Wähle also aus jedem Bereich eine Zahl aus, setze sie in das Polynom ein und das Vorzeichen des Ergebnisses ist dann auch das Vorzeichen der anderen Werte in diesem Bereich.

       

Answer 3

Funktion 4. Grade mit den Nullstellen (von links nach rechts)

-2 (doppelt) , 0 und 1.

Zusammen mit dem Verhalten im Unendlichen kommt der Graph von oben links,

berührt die x-Achse bei -2 und geht wieder ins positive, um bei x=0 die x-Achse tatsächlich nach unten zu überqueren und bei x=1 wieder hochzukommen-

Der einzige negative Bereich ist also zwischen 0 und 1.