Summe der Einzelwahrscheinlichkeit in einem Intervall der reelen Zahlen

Question

Hallo, ich habe eine Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Und zwar habe ich folgendes Problem:

Wenn ich das Intervall von [0,1] im Bereich der realen Zahlen betrachte, dann liegen in diesem Bereich überabzählbar unendlich viele reele Zahlen (natürlich gleichverteilt).

Die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Zahl zu ziehen, beträgt genau 0.

Nun frage ich mich: wenn ich die Wahrscheinlichkeiten für alle unendlich vielen Einzelereignisse aufsummiere, dann ergibt die Summe genau Null. Aber eigentlich müsste für den Bereich die Gesamtwahrscheinlichkeit P=1 gelten.

Weiß hier jemand, wie man das Problem beseitigt oder wo mein Denkfehler liegt?

Vielen Dank!

Answer 1

wenn ich die Wahrscheinlichkeiten für alle unendlich vielen Einzelereignisse aufsummiere, dann ergibt die Summe genau Null. Aber eigentlich müsste für den Bereich die Gesamtwahrscheinlichkeit P=1 gelten.

Das hat Herr Kolmogorow, als er damals die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfunden hat, ebenfalls erkannt und deshalb nur für abzählbar viele disjunkte Ereignisse gefordert, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung gleich der Summe der Warhscheinlichkeiten ist.

Answer 2

Im Allgemeinen gilt nicht \(\infty \cdot 0 = 0\). Daher funktioniert hier die Berechnung über das Integral.

Comments

Das ist der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Du kannst eben nicht unendlich viele Werte aufaddieren.

Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die Fläche die zwischen dem Graphen und der x-Achse liegt genau 1.

Wenn du dir aus dieser Fläche aber das Rechteck an der Stelle 0 heraussuchst, welches die Breite 0 hat dann ist es egal wie hoch dieses Rechteck ist, die Fläche des Rechtecks wird immer null sein.

Mit der Integralrechnung schafft man es alle Rechtecke die unendlich dicht liegen aber alle die Breite 0 haben aufzuaddieren, sodass sich dann die Fläche ergibt.

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Warum gilt allgemein nicht ∞•0=0 ?

Habe ich etwas in der Schule verpasst?

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Es kommt darauf ob 0 hier als Grenzwert oder Exakter Wert genommen wird.

Nehmen wir an du hast ein einheitsquadrat. D.h. die Kantenlänge beträgt genau 1. Und jetzt schneidest du es in 2 gleich Breite Streifen. Dann hat jeder Streifen die Breite 1/2.

Wieder teilt man jeden der Zwei Streife nochmals in der mitte sodass man 4 Streifen der Breite 1/4 enthält. immer wieder kenn man die erhaltenen Streifen erneut in zwei Streifen teilen. Der Grenzwert der Breite jedes einzelnen Streifens beträgt dann Null. Man hat dafür aber auch unendlich viele solcher Streifen.

In diesem Fall gilt also ∞·0 = 1

Wobei hier die Null natürlich nur als Grenzwert dient denn die eigentliche Breite die ja unendlich klein ist, lässt sich nicht angeben.

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Daher funktioniert hier die Berechnung über das Integral.

Wie sieht das hier konkret aus?

Kann man nicht einfach sagen:

lim P= 1/oo = 0

Es gibt unendlich viele Zahlen in diesem Intervall.

Die WKT, eine bestimmte anzutreffen geht daher gegen 0.

Das ist unmittelbar einsichtig. ??

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Es kommt darauf ob 0 hier als Grenzwert oder Exakter Wert genommen wird.

Aber ist die Null nicht auch wie jede andere reele Zahl als Limes definiert? Also der Limes gegen 0 ist 0.

Dann würde für mich 0•∞=1 nämlich keinen Sinn ergeben, zumal ja auch bei deinem genannten Verfahren (Obersumme oder Untersumme bilden) kein Limes gegen 0 explizit gebildet wird, sondern die Streifenanzahl gegen unendlich läuft.

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Ich warte auf die Erklärung von lul.

Ich kann mir nichts unter dem vorstellen, was er/ sie damit meint. Ich bin nur Laie, kein Profi.

Daher funktioniert hier die Berechnung über das Integral.

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zumal ja auch bei deinem genannten Verfahren (Obersumme oder Untersumme bilden) kein Limes gegen 0 explizit gebildet wird, sondern die Streifenanzahl gegen unendlich läuft.

Du bist witzig. Wenn die Streifenanzahl in einem abgeschlossenen Intervall gegen unendlich geht, geht die Streifenbreite explizit gegen 0.

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Daher funktioniert hier die Berechnung über das Integral.

\(P(X\leq k)=\int_{-\infty}^{k}\!f(x)\,\mathrm{d}x\), wobei \(f(x)\) die Dichtefunktion ist. Für \(k\rightarrow \infty\) ist das Integral 1.

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Du bist witzig. Wenn die Streifenanzahl in einem abgeschlossenen Intervall gegen unendlich geht, geht die Streifenbreite explizit gegen 0.

Aber ich erhalte dann nur ein Ergebnis ungleich Null, da gleichzeitig die Strefenanzahl gegen unendlich läuft.

Wenn ich erst die Breite gegen Null konvergieren lasse und danach die Anzahl der Streifen gegen unendlich, dann ergibt dies Null.

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Wenn man ein Quadrat der breite 1 in x gleich große Streifen schneidet dann ist die Breite 1/x.

Es gilt in dem Fall:

x * 1/x = 1
∞ * 1/∞ = 1
∞ * 0 = 1

Achtung: Man sollte das so eigentlich nicht notieren, aber ich ignoriere das mal aus Gründen der Verständlichkeit.

Und mit dem Taschenrechner hier 99999999999 * 0 zu rechnen ist natürlich völliger Unsinn, denn 99999999999 ist erstmal nicht unendlich und 0 ist eben exakt null und 1/x ist eben nicht exakt null, sondern hat nur den Grenzwert null und wird selber niemals exakt null.

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wenn ich die Wahrscheinlichkeiten für alle unendlich vielen Einzelereignisse aufsummiere, dann ergibt die Summe genau Null. Aber eigentlich müsste für den Bereich die Gesamtwahrscheinlichkeit P=1 gelten.

a) Mit "unendlich" kann man nicht rechnen. Was soll unendlich viele Ereignisse bedeuten. Addieren kann man nur genaue Anzahlen.

b) Wenn es um alle Zahlen geht, so kann der WKT in summa nur 1 sein.

Das ist m.E. evident auch ohne Integral.

Die WKT irgendeine der 6 Zahlen zu würfeln ist 1, 1/6*6 = 1.

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Wenn man ein Quadrat der breite 1 in x gleich große Streifen schneidet dann ist die Breite 1/x.

Es gilt in dem Fall:

x * 1/x = 1

∞ * 1/∞ = 1

∞ * 0 = 1

Achtung: Man sollte das so eigentlich nicht notieren, aber ich ignoriere das mal aus Gründen der Verständlichkeit.

Und mit dem Taschenrechner hier 99999999999 * 0 zu rechnen ist natürlich völliger Unsinn, denn 99999999999 ist erstmal nicht unendlich und 0 ist eben exakt null und 1/x ist eben nicht exakt null, sondern hat nur den Grenzwert null und wird selber niemals exakt null.

Erstmal werden ja immer nur Grenzwertprozesse betrachtet. Mit ∞ als Zahl darf man doch in der Form gar nicht rechnen.

Wenn ich lim 1/x betrachte, dann konvergiert es bei x->∞ gegen 0.

Nun haben mir schon zwei Mathematiker in der Vergangenheit gesagt, dass der Limes, wenn er gegen Null konvergiert, auch wirklich Null ist (So seien die reelen Zahlen definiert).

1/3+1/3+1/3=1 und nicht nur 0,999999999...

Deshalb dürfte man die Prozesse bei der Ober- oder Untersumme auch nicht entkoppelt betrachten.

Aber korrigiert mich gerne, wenn ich falsch liege.

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1/3+1/3+1/3=1 und nicht nur 0,999999999...

Es gilt \(0,\overline{9}=1\)

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Auch das ist wiki einen Artikel wert:

https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

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Und bei einem Grenzwert, der gegen Null konvergiert, verhält es sich anders?

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Gibt es Wikipedia auch für lernschwache Schüler und Schüler mit Migrationshintergrund?

Das Problem ist, dass viele Schüler Schwierigkeiten haben, die Fachartikel zu verstehen.

Mich würde mal interessieren wieviel Prozent der potenziellen Leser, die sich auf der Seite befinden den Artikel nicht nach den ersten 5 Sätzen geschlossen haben.

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Nun haben mir schon zwei Mathematiker in der Vergangenheit gesagt, dass der Limes, wenn er gegen Null konvergiert, auch wirklich Null ist (So seien die reelen Zahlen definiert).

Der Grenzwert ist auch Null. Aber eben nur der Grenzwert. Und du darfst nicht einfach mit Grenzwerten rechnen.

x = x^2 * 1/x

Für x gegen unendlich ergibt sich dann, deiner Meinung nach

∞ = ∞^2 * 1/∞
∞ = ∞^2 * 0
∞ = 0

Finde den Fehler.

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Mich würde mal interessieren wieviel Prozent der potenziellen Leser, die sich auf der Seite befinden den Artikel nicht nach den ersten 5 Sätzen geschlossen haben.

Für die könnte man empfehlen:

∞ = ∞^2 * 1/∞
∞ = ∞^2 * 0
∞ = 0

Man könnte mit oo   kürzen.

oo= oo*1 = oo (wahr)

Sollte auch im Multiversum gelten oder nicht. :)

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Worauf ich hinaus will ist, dass das Rechnen mit Grenzwerten nicht immer erlaubt ist.

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Und ich habe extra nochmal nachgefragt, die reellen Zahlen sind als Folge definiert, sodass lim 1/x mit x->∞=0 ist. Wie bringen wir das jetzt zusammen?

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Die WKT, eine bestimmte anzutreffen geht daher gegen 0.

Sie geht nicht gegen 0, sie IST 0. Solche Ungenauigkeiten sollte man vermeiden.

Aber ist die Null nicht auch wie jede andere reele Zahl als Limes definiert? Also der Limes gegen 0 ist 0.

Null ist Null und sicherlich nicht als Limes definiert. Und der Limes wovon?!

Wenn man Mathematik so unpräzise betreibt, ist es einfach kein Wunder, dass man da nicht durchblickt.

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Dann ist also zb das Integral von f(x)=x im Intervall von 0 bis 2 auch nicht exakt 2, sondern nur Limes 2?

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Warum sollte das so sein? Natürlich ist das exakt.

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Ich dachte, dass das Integral mittels Grenzwertprozessen definiert wird (also Ober- bzw. Untersumme). Das sagen zumindest meine alten Mathebücher. Somit hätte ich auch wieder einen Limes....

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Und warum sollte ein Limes nicht exakt sein?

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Weil der Limes nur beliebig an zwei heran kommt, aber nie exakt zwei wird? Das gleiche habt ihr alle doch zum Thema Limes 0 und exakt 0 gesagt...

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Also ist \(\lim_{x\rightarrow 1}x = 1\) nicht exakt?

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Doch, in dem Fall schon. Versteht man wirklich nicht, was ich meine, oder wollt ihr mich ärgern?

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Der Grenzwert lim (x → ∞) 1/x ist exakt 0

Aber 1/x ist eben nicht exakt Null. Das besagt doch bereits die Regel: Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. Bei 1/x ist der Zähler aber 1 und kann gar nicht Null werden, also kann 1/x auch nie exakt Null sein.

Das solltest du auch kennen, wenn du mal die Nullstellen von 1/x oder auch e^x bestimmen solltest.

Der Grenzwert ist also etwas, dem wir uns mit 1/x beliebig nähern, aber der in diesem Fall eben auch nie exakt erreicht werden kann.

Ist das denn so schwer zu verstehen?

Und das Integral ∑ (0 bis 2) x dx Ist die Fläche, die der Graph von y = x und die x-Achse im Intervall von 0 bis 2 bildet und die Fläche ist ein Dreieck und lässt sich exakt mit 4 ermitteln. Auch ansonsten sind Integrale oft in der Schule exakte Werte.

Z.B. ist die Tangentensteigung an eine Funktion genau als Grenzwert der Sekantensteigung definiert, wenn die 2 Stellen über die, die Sekantensteigung aufgestellt wird, beliebig dicht aneinander rücken. Und der Grenzwert ist aber eben auch in diesen Fällen ein exakter Wert. Auch dann, wenn der Term mit dem der Grenzwert gebildet wird, diesen nicht exakt annehmen kann.

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Erstmal vielen Dank für deine Erklärungen.

Vorab, die Schule ist bei mir schon lange vorbei....ja, meine Fragen sind etwas dämlich, aber ich mache mir gerade nur Gedanken darum.

Das 1/x niemals Null werden kann, ist natürlich logisch.

Mein Problem liegt eher darin: Wenn ich mittels der Ober oder Untersumme den Flächeninhalt einer Funktion berechne und dabei n->unendlich gehen lasse, dann erhalte ich einen exakten Grenzwert. In dem Beispiel mit der Dreicksfunktion wäre das der Grenzwert 2.

Nun man aber, das im Grenzwertprozess die 2 niemals erreicht werden wird! Wir kommen ihr nur beliebig nahe.

Deshalb dachte ich, man kann sagen, daß der Flächeninhalt des entsprechenden Integrals der Grenzwert 2 ist....die 2 aber niemals erreicht wird (man kommt ihr nur beliebig nahe).