vollständige Induktion einer Summenungleichung

Question

Aufgabe:

1) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N und alle
x1, . . . , xn ≥ 0 gilt:

2) Sei (ak) k∈N eine Folge mit ak ≥ 0 für alle k ∈ N. Die Reihe ∑ ak

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \)

sei konvergent. Zeigen Sie, dass auch ∑a²k konvergiert mit

Problem/Ansatz:

Leider stellt uns diese Aufgabe vor ein Problem. Wir finden in den Vorlesungen und auch sonst nirgendwo etwas, mit dem wir was anfangen können. Wir freuen uns über jegliche Hilfe.

Liebe Grüße

Comments

Hat jemand eine Lösung für die zweite Aufgabe?

Answer 1

$$\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2$$

Für n = 1 ist es sicher richtig, sogar mit = statt ≤ .

Falls es für n gilt, dann muss  man zeigen :

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k )^2$$

Also geht es los mit $$\sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k^2 = (\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 )+ x_{n+1}^2 $$

Die Summe wird mit der Induktionsannahme abgeschätzt:

$$ (\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 )+ x_{n+1}^2  \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 + x_{n+1}^2 $$

Und dann ergänzen wird noch etwas, was jedenfalls nicht negativ ist (alle x_i > 0 )

$$ ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 + x_{n+1}^2 \leq   ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 +2*x_{n+1} *\sum \limits_{k=1}^{n}x_k + x_{n+1}^2$$

und mit der binomischen Formel entsteht $$ = ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k ) + x_{n+1})^2$$

Da ist gleich dem gewünschten Term $$ = ( \sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k )^2$$   q.e.d.

Answer 2

\(\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{2} & =x_{n+1}^{2}+\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\\ & \leq x_{n+1}^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}\\ & \leq x_{n+1}^{2}+2x_{n+1}\sum_{k=1}^{n}x_{k}+\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}\\ & =\left(x_{n+1}+\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}\right)^{2} \end{aligned}\)

Wir finden in den Vorlesungen und auch sonst nirgendwo etwas

Schaut mal im Regelheft der Klasse 8 nach. Da müsste etwas über binomische Formeln stehen :-)