$$\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2$$
Für n = 1 ist es sicher richtig, sogar mit = statt ≤ .
Falls es für n gilt, dann muss man zeigen :
$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k )^2$$
Also geht es los mit $$\sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k^2 = (\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 )+ x_{n+1}^2 $$
Die Summe wird mit der Induktionsannahme abgeschätzt:
$$ (\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 )+ x_{n+1}^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 + x_{n+1}^2 $$
Und dann ergänzen wird noch etwas, was jedenfalls nicht negativ ist (alle xi > 0 )
$$ ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 + x_{n+1}^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 +2*x_{n+1} *\sum \limits_{k=1}^{n}x_k + x_{n+1}^2$$
und mit der binomischen Formel entsteht $$ = ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k ) + x_{n+1})^2$$
Da ist gleich dem gewünschten Term $$ = ( \sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k )^2$$ q.e.d.