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Aufgabe:

1) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N und alle
x1, . . . , xn ≥ 0 gilt:

blob.png


2) Sei (ak) k∈N eine Folge mit ak ≥ 0 für alle k ∈ N. Die Reihe ∑ ak

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \)

sei konvergent. Zeigen Sie, dass auch ∑a²k konvergiert mit

blob.png


Problem/Ansatz:

Leider stellt uns diese Aufgabe vor ein Problem. Wir finden in den Vorlesungen und auch sonst nirgendwo etwas, mit dem wir was anfangen können. Wir freuen uns über jegliche Hilfe.

Liebe Grüße

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Hat jemand eine Lösung für die zweite Aufgabe?

2 Antworten

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Beste Antwort

$$\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2$$

Für n = 1 ist es sicher richtig, sogar mit = statt ≤ .

Falls es für n gilt, dann muss  man zeigen :

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k^2 \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k )^2$$

Also geht es los mit $$\sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k^2 = (\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 )+ x_{n+1}^2 $$

Die Summe wird mit der Induktionsannahme abgeschätzt:

$$ (\sum \limits_{k=1}^{n}x_k^2 )+ x_{n+1}^2  \leq ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 + x_{n+1}^2 $$

Und dann ergänzen wird noch etwas, was jedenfalls nicht negativ ist (alle xi > 0 )

$$ ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 + x_{n+1}^2 \leq   ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k )^2 +2*x_{n+1} *\sum \limits_{k=1}^{n}x_k + x_{n+1}^2$$

und mit der binomischen Formel entsteht $$ = ( \sum \limits_{k=1}^{n}x_k ) + x_{n+1})^2$$

Da ist gleich dem gewünschten Term $$ = ( \sum \limits_{k=1}^{n+1}x_k )^2$$   q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀
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\(\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{2} & =x_{n+1}^{2}+\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\\ & \leq x_{n+1}^{2}+\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}\\ & \leq x_{n+1}^{2}+2x_{n+1}\sum_{k=1}^{n}x_{k}+\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}\\ & =\left(x_{n+1}+\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}\right)^{2} \end{aligned}\)

Wir finden in den Vorlesungen und auch sonst nirgendwo etwas

Schaut mal im Regelheft der Klasse 8 nach. Da müsste etwas über binomische Formeln stehen :-)

Avatar von 107 k 🚀

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