vier Polynome Integral bestimmen

Question

Bestimmen Sie für die Polynome $$\pi (t) = 1, \pi_{1} (t) = t, \pi_{2} (t) = t^2 - (t_{0}+t_{1})t + t_{0}t_{1}, \pi_{3} (t) = t^3 - (t_{0} + t_{1})t^2+t_{0}t_{1}t $$und beliebige folgende Ausdrücke $$w_{0},w_{1},t_{0},t_{1}\in \mathbb{R}$$ folgende Ausdrücke

$$\int \limits_{-1}^{1} \pi_{k}(t)dt$$ und $$w_{0}\pi_{k}(t_0)+w_{1}\pi_{k}(t_1)$$

Ich verstehe nicht so ganz wie sich dieses Integral über dieses k zusammensetzt. Was habe ich denn dann für einen Ausdruck? Eine Summe? Stehe gerade etwas auf dem Schlauch und würde mich über jede Hilfe freuen. :)

Answer 1

Einfach jedes Polynom separat integrieren. Wahrscheinlich soll \( k = 0 .. 3 \) gelten?

Comments

Danke. Ich habe da irgendwie in die komplett falsche Richtung gedacht. Wahrscheinlich ist es so gemeint, dass ich jedes Polynom einzeln einsetzen soll.

Den zweiten Ausdruck verstehe ich aber noch nicht ganz. Was ist denn wenn ich beispielsweise das erste oder zweite Polynom in den zweiten Ausdruck einsetze? Könntest du mir jemand vielleicht kurz erklären?

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Die \( t_i\) in das jeweilige Polynom einsetzen, dann vereinfacht sich einiges iund danach die Linearkombination bilden. Sind die \( \omega_i \) näher definiert?

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Aber kürzt sich dann nicht alles weg? Zu den w_i habe ich keine weiteren Angaben. Die soll ich dann noch bestimmen. Also ich soll die beiden Ausdrücke gleichsetzen und die w_i bzw. t_i bestimmen.

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Welche Ausdrücke sollen gleich gesetzt werden?

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$$\int \limits_{-1}^{1} \pi(t) dt = w_{0}\pi_{k}(t_0) + w_1\pi_k(t_1), t\leq t_0 < t_1 \leq 1$$

Damit soll ich dann die einzelnen w und t bestimmen.

Vielen Dank, dass du dir bisher schon die Zeit genommen hast und mir hilfst. :)

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Wahrscheinlich ist folgendes gemeint

$$ \int_{-1}^1 \pi_k(t) dt = \omega_0 \pi_k(t_0) + \omega_k(t_1) \pi_k(t_1) $$ für \( k = 0,1,2,3 \)

Das sind vier Gleichungen mit vier Unbekannten, die gelöst werden sollen.

Also z.B. für \( k = 0 \) ergibt sich

$$ 2 = \omega_0 + \omega_1 $$ Das jetzt für die anderen \( k \) hinschreiben und lösen.

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Wenn man die Gleichungssysteme so aufstellt wie ich beschrieben habe kommt man auf

$$ (1) \quad \omega_0 + \omega_1 = 2 $$ $$ (2) \quad t_0 \omega_0 + t_1 \omega_1 = 0 $$ $$ (3) \quad t_0 t_1 = -\frac{1}{3} $$ $$ (4) \quad t_0 + t_1 = 0 $$

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Achso. Das bedeutet ich muss jetzt nur noch diese Gleichungssystem lösen?

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So habe ich das verstanden. Ist aber einfach, allerdings nur eindeutig, wenn \( t_0 < t_1 \) gilt.

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Vielen Dank für deine Hilfe. :))