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gegeben ist die Matrix


$$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 |2 \\ 2 & -6 & 1 &  3|19 \\ -1 & 3 & -1 & -1| 6 \\ 3 & -9 & 6 & 0 | 6  \end{pmatrix} $$


von der die Lösungsmenge durch Gauß-Algorithmus bestimmt werden soll.


Nach Umformung komme ich dann jedoch auf

1 -3 2 0  | 2

0  0 -3 3 | 15

0  0 1 -1 | -5

0 0  0  0 | 0

was ja aber keine Zeilenstufenform ist.

Meine Frage ist jetzt ob die Umformung so richtig ist und wie ich ab hier auf die Lösungsmenge kommen kann.

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2 Antworten

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hallo

doch das ist schon auch eine Zeilenstufenform.

die Nullen sagen ja x4*0=o d.h du kannst x4 willkürlich wählen meist schreibt man z.B, x4=r

dann aus der 2ten oder 3 ten Zeile x3 bestimmen. , bei x1,x2 kannst du wieder eines frei wählen,

du hast nur 2 wirklich verschiedene Gleichungen aber 4 Unbekannte, deshalb kannst du 2 frei wählen.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo lul,

super das mit dem frei wählen verstehe ich, aber ich dachte bei einer Zeilenstufenform muss in jeder Zeile die 0er Reihe um eins weiter nach rechts verschoben werden?

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Aloha :)

Ich habe dein Ergebnis nicht nachgerechnet, sondern gehe davon aus, dass du korrekt gerechnet hast. Von den 4 Gleichungen bleiben nur 2 übrig (du kannst das 3-fache der 3-ten Zeile zur 2-ten Zeile addieren und erhältst dann dort noch eine Nullzeile). Das heißt, von den 4 Freiheitsgerade \(x_1,x_2,x_3,x_4\) kannst du 2 frei wählen. Die beiden anderen sind dann durch die beiden Gleichungen bestimmt. Die Lösungen dieses LGS sind also 2-dimensionale Ebenen im 4-dimensionalen Raum. Die beiden übrig gebliebenen Gleichungen lauten:$$x_1-3x_2+2x_3=2\quad;\quad x_3-x_4=-5$$Die erste kann man gut nach \(x_1\) umstellen, die zweite gut nach \(x_4\):$$x_1=2+3x_2-2x_3\quad;\quad x_4=5+x_3$$Das heißt, wenn \(x_2\) und \(x_3\) frei gewählt wurden, sind \(x_1\) und \(x_4\) fest definiert. Die Lösungsvektoren sind:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+3x_2-2x_3\\x_2\\x_3\\5+x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\\5\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}3\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\1\end{pmatrix}$$Wenn du möchtest, kannst du noch \(x_2\) und \(x_3\) durch z.B. \(s\) und \(t\) ersetzen, musst du aber nicht.

Avatar von 152 k 🚀

Hallo,

vielen Dank, das verstehe ich soweit :D

Wir haben nur in der Vorlesung noch gelernt dass eine Definition der Zeilenstufenform ist, dass sich die 0er Reihe in den Zeilen von oben nach unten immer um mindestens eins nach rechts verschieben muss.

Und das ist hier nicht gegeben, oder?

Das ist hier tatsächlich nicht gegeben. Die Matrix hat also streng genommen nicht Zeilenstufenform. Diese bekommst du nur, wenn das LGS genau eine Lösung hat. Wenn es keine Zeilenstufenform gibt, hat das LGS entweder keine Lösung oder (wie hier) unendlch viele Lösungen.

Ahh, das ergibt Sinn :)

Vielen Dank für die Zeit! War sehr hilfreich.

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