Wie kann man eine Umkehrfunktion aus einer Funktion mit zwei Variablen bilden?

Question

Aufgabe:

Wie kann man eine Umkehrfunktion aus einer Funktion mit zwei Variablen bilden?

Beispiel:

f(x,y)=\( \frac{(x+y)*(x+y+1)}{2} \) +x

Definitionsbereich ist ℕxℕ

Zielbereich ist ℕ

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht nach x und y umzustellen, jedoch klappt das nicht.

f(x,y)=z

2z=x²+y²+2xy+3x+y

Habe ich hierbei einen falschen Ansatz gewählt?

Answer 1

Was sind denn Definitionsbereich und Zielbereich der Funktion ?

Dann versuche dir mal vorzustellen, was das macht indem du in einem

Koordinatensystem ( y-Achse allerdings nach unten orientiert) aufschreibst

welches Ergebnis zu welchem Punkt gehört. Dann sieht das so aus:

            0       2      5      9      14
            1       4     8      13
            3      7      12
            6      11
           10

Es werden also quasi längs der Diagonalen die Gitterpunkte des

Koordinatensystems abgezählt.

Und jetzt muss man zu einer vorgegebenen Zahl ( wenn du etwa

rausfinden willst in welcher Diagonale die 76 steht) erst mal

überlegen wie die Endpunkte der Diagonale von der
Nummer der Diagonale abhängen.

Betrachte dazu die erste Spalte. Die Werte dort sind

0
0+1
0+1+2
0+1+2+3
0+1+2+3+4   etc .

allgemein gibt es ja die Formel 0+1+2+3+4+...+n = n(n+1)/2

Also muss man zu einem vorgegebenen z erst mal schauen

für welches n das z zwischen  n(n+1)/2 und  (n+1)(n+2)/2 - 1 liegt,

also für welches n gilt   n(n+1)/2 ≤ z ≤ n(n+3)/2 .

Für die fiktive 76 wäre das n=11 denn 11*12/2=66

und 11*14/2=77.

Für die gesuchten x und y hat man dann also x+y=11

und kann nun (x+y)(x+y+1) / 2     + x  =   76   leicht lösen

                   11*12/2 + x = 76

                          66+x = 76 ==>    x=10 und wegen x+y=11 also y=1.

Damit wäre die 76 das Bild von (10,1) und in der Tat

               (10+1)(10+1+1)/2 + 10 = 66+10=76

Comments

Hab die Frage aktualisiert. Danke für die Erinnerung.

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Danke für die Erklärung, wie die Funktion zustande kommt.

Meine Frage wäre allerdings, wie ich die Umkehrfunktion bilde, sodass ich beweisen kann, dass diese Funktion bijektiv ist.

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Die Frage ist falsch gestellt. Du brauchst keine Gleichung für die Umkehrfunktion. Du brauchst nur den Nachweis der Bijektivität. Dazu genügt derr Nachweis. dass der Summand x kleiner ist als der Betrag der Differenz zwischen dem aktuellen Summanden

\( \frac{(x+y)*(x+y+1)}{2} \) und dem nächsten Summanden \( \frac{(x+y+1)*(x+y+2)}{2} \)

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Ich müsste aber doch davor erst zeigen, dass es sowohl injektiv ist und auch surjektiv.

Mein Ansatz:

injektiv: f(x₁,y₁) = f(x₂,y₂) Ich würde dann beides gleichsetzen. Aber was müsste ich dann machen?

surjektiv: Umkehrfunktion bilden und wenn diese ε ℕ ist, dann müsste sie doch surjektiv sein oder hab ich einen falschen Ansatz?

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Ich habe nicht den Eindruck, dass du dich in irgendeiner Weise mit meiner Idee auseinandergesetzt hast.

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Was ich an deiner Idee nicht verstehe bzw. verstanden habe ist, das ich keinen Zusammenhang zu dem finde, was wir mehr oder weniger gelehrt bekommen.

Ich meine damit, dass ich daraus nicht entnehmen kann, dass die Injektivität und auch die Surjektivität bewiesen ist.

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Suirjektivität heißt doch nur:

Du musst für jedes Z aus ℕo zeigen,

dass es (x,y) gibt, deren Bild z ist.

Du könntest sagen, Die Intervalle

I_n =  [n(n+1)/2   ;   n(n+3)/2 )

überdecken ganz ℕo überschneidungsfrei.

(Zeige dazu, dass der rechte Rand von In gleich dem

rechten Rand von I_n+1 ist und  (n*(n+1)/2

nach oben unbeschränkt ist.

Also gibt es zu jedem z∈ℕo genau ein n mit z∈I_n.

Wähle nun (x, y ) ∈ ℕoxℕo mit x+y = n

Dann ist (x+y)*(x+y+1)/2 ≤ z <  (x+y+1)*(x+y+1+1)/2

Also z - (x+y)*(x+y+1)/2  = z-n*(n+1)/2 = x

und damit y = n-x.

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Was ist aber mit dem +x passiert?

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Was ist aber mit dem +x passiert?

Also z - (x+y)*(x+y+1)/2  = z-n*(n+1)/2 = x

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Dann ist (x+y)*(x+y+1)/2 ≤ z <  (x+y)*(x+y+1)/2

Wie kann z größer gleich und kleiner als der gleiche Term sein?

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Ist jetzt korrigiert.