definitionsbereich einer umkehrfunktion angeben

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben:

y= 2+ wurzel(x+1)

mit der Angabe:

x für >1 streng monoton steigend.

Als Umkehrfunktion hab ich berechnet:

y= x^2 - 4x + 3

Bin aber etwas ratlos wegen dem Definitionsbereich.

Normalerweise ist ja der Wertebereich der Funktion = der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

Aber muss ich jetzt die x>1 mit einbeziehen oder nicht?

Und wenn ja wie würde dieser dann aussehen?

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Die Funktion ist nach oben unbeschränkt und nimmt an der Stelle x=1 ihr absolutes Minimum an.

Comments

absolutes Minimum von f bei  x = - 1  

Answer 2

Hier meine Überlegungen

Rot umrandet ist der erste Schritt zur Bildung einer Umkehrfunktion

Für den Linken Teil gilt : der gezogene Wurzelwert ist null oder
positiv.
Dann ist die rechte Seite der Gleichung auch null oder positiv
oder umgeformt
x ≥ 2

Dann wurde die Umkehrfunktion gebildet und Def- und Werte-
bereich ergeben sich wie vorhergesagt.

mfg Georg

Answer 3

die Gleichung deiner Umkehrfunktion ist richtig.

f(x) = 2 + √(x+1)

D_f = [ -1 , ∞ [  , weil der Term unter der Wurzel ≥ 0  sein muss

W_f = [ 2 , ∞ [   ,  weil die Wurzel nicht negativ ist und  beliebige große Werte annimmt.

Bei einer Umkehrfunktion f ^-1 werden  Wertemenge und Definitionsmenge von f vertauscht:

f :  [ -1 , ∞ [  → [ 2 , ∞ [   ;   f(x) = 2 + √(x+1)

f ^-1:  [ 2 , ∞ [  → [ -1 , ∞ [   ;   f ^-1(x) = x² - 4x + 3  

Gruß Wolfgang