Umkehrfunktion berechnen mit schwierigem Definitionsbereich

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion

\( \mathbf{f}:(0, \infty)^{2} \rightarrow(0, \infty)^{2} \quad \text { mit } \quad \mathbf{f}(x, y)=\left(\mathrm{e}^{y}-1, x y^{2}\right) \)
a) Zeigen Sie durch direktes Auflösen, dass es eine Umkehrfunktion g von \( \mathbf{f} \) gibt und berechnen Sie die Jacobi-Matrix von \( \mathbf{g} \) an den Stellen \( (s, t) \) des Definitionsbereiches von \( \mathrm{g} \).

Ansatz/Problem:

Entschuldige hab ich vergessen. Direktes Auflösen wäre mein Problem

Comments

Du hast uns zwar dankenswerterweise einen schönen Aufgabentext übermittelt, aber nicht mitgeteilt, warum du das tust.

Möchtest du "Definitionsbereich" erklärt bekommen?

Oder war es dir nach dem direkten Auflösen nicht möglich, die Jacobi-Matrix zu bestücken?

Oder scheitert es am direkten Auflösen?

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Oh entschuldige. Direkte Auflösen :(. Hilfe

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schreibe f als (f1,f2) und dann g1=ln(f1+1) usw g kannst du dann sicher selbst

Gruß lul

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Ich kam selber auch bei e^y-1 auf die Umkerabbildung. Ich brauche gerade das von xy² :(. Bzw. im Nenner darf auch nicht durch 0 geteilt werden. X kann nicht unten stehen

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hallo

\( \sqrt{f2/x} \)

lul

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\(\large\sqrt{f2/x}\)

Was soll das sein?

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Ich komme ehrlich gesagt mit dem Rechenweg von lul nicht ganz klar. Tut mir leid :/.

p.s. Hilfe ○~○

Answer 1

Wenn du g( a;b) haben willst , dann musst du

a=e^y - 1   und b= x*y^2

nach x und y auflösen, also

y= ln(a+1)    und  x = b / ln^2 (a+1)

Und weil a>0 ist, ist a+1 > 1 also ln^2(a+1) >0 ,

kein Problem beim Dividieren.

Somit ist die Umkehrfunktion

g(x,y) =   (   y/ln^2(x+1) , ln(x+1)  )  .

Comments

Das ist doch mal eine Vernüftige Antwort, danke :) Herr Prof. mathef :)