Steckbrief ohne Vorgaben des Kandidaten

Question

Aufgabe:

… Der Graf hat ein extrempunkt In (0/3) und einen Wendepunkt an der Stelle x=3. er verläuft durch den Punkt (1/1)

Problem/Ansatz:

… Ich soll Funktionen aus Bedingungen beziehungsweise Steckbriefe bestimmen

Answer 1

Der Graf hat ein extrempunkt In (0/3)

f(0)= 3 und f'(0)=0

einen Wendepunkt an der Stelle x=3

f''(3)=0

erläuft durch den Punkt (1/1)

f(1)=1

Da es 4 Bedingungen sind, sollte es eine Funktion dritten Grades sein.

Answer 2

Aloha :)

Wir haben vier Randbedingungen:$$f(1)=1\quad;\quad f'(0)=0\quad;\quad f''(3)=0\quad;\quad f(0)=3$$Daher brauchen wir 4 Variablen und machen als Ansatz:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$Aus den Randbedingunen folgen die Parameter:

$$3=f(0)=d\implies d=3$$$$0=f'(0)=c\implies c=0$$$$0=f''(3)=18a+2b\implies b=-9a$$$$1=f(1)=a+b+c+d=a-9a+0+3=-8a+3\implies a=\frac{1}{4}$$Damit können wir die Funktion angeben:$$f(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{9}{4}x^2+3$$

~plot~ f(x)=1/4*x^3-9/4*x^2+3 ; {0|3} ; {3|-10,5} ; {1|1} ; [[-3|6|-25|4]] ~plot~

Answer 3

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f"'(x)=6ax+2b$$

$$f(0)=d=3$$$$f'(0)=c=0$$$$f(1)=a+b+3=1$$$$a+b=-2$$$$b=-2-a$$$$f''(3)=6a*3+2b=0$$$$18a-4-2a=0$$$$a=1/4$$$$b=-9/4$$$$f(x)=1/4x^3-9/4x^2+3$$

Answer 4

Der Graph hat ein Extrempunkt in E\((0|3)\) und einen Wendepunkt an der Stelle \(x=3\). Er verläuft durch den Punkt P\((1|1)\)

E\((0|3)\) ↓ E´\((0|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)

\(f'(x)=a(3x^2-2Nx)\)

\(f''(x)=a(6x-2N)\)

Wendepunkt an der Stelle \(x=3\):

\(f''(3)=a(18-2N)=0\)

\(N=9\)

\(f(x)=a(x^3-9x^2)\)

P\((1|1)\) ↓  P´\((1|-2)\)

\(f(1)=a(1-9)=-8a=-2 \)

\(a=\frac{1}{4} \)

\(f(x)=\frac{1}{4} (x^3-9x^2)\)

↑ \(p(x)=\frac{1}{4} (x^3-9x^2)+3\)