Bestimmen Sie die Matrix [f]B,C von f

Question

Aufgabe:

Sei P_n die Menge aller Polynomfunktionen p: R -> R vom Grad <= n. Gegeben ist die lineare Abbildung

f: P1->P2

f(p) := die Polynomfunktion t-> ∫^t₀ p(τ)dτ

Bestimmen Sie die Matrix [f]_B,C von f

i) bezüglich der Basen B = (t->1, t->t) von P1 und C = (t->1, t->t, t->t²) von P2,

ii) bezüglich der Basen B = (t->1, t->t) von P1 und C = (t->1 + t, t->1-t, t->t²) von P2!

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man Abbildungsmatrizen nutzen kann, um Polynomfunktionen vereinfacht darzustellen, aber ich verstehe nicht, inwiefern ein Integral eine Polynomfunktion sein kann und was ich mit den Basen anfangen soll.

Answer 1

Aloha :)

i) Laut Aufgabenstellung ist$$P_1=\{a+bx\,|\,a,b\in\mathbb R\}\quad;\quad P_2=\{\alpha+\beta x+\gamma x^2\,|\,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\}$$und für ein \(p\in P_1\) lautet die Abbildungsvorschrift \(f:P_1\to P_2\) wie folgt:$$f(p)=f(a+bx)\mapsto\int\limits_0^x(a+bt)dt=\left[at+b\frac{t^2}{2}\right]_0^x=ax+\frac{b}{2}x^2$$Das Element \((a,b)\in P_1\) wird also abgebildet auf das Element \((0,a,\frac{b}{2})\in P_2\). In Vektorschreibweise mit den Basen von \(P_1\) und \(P_2\) bedeutet dies:$$\binom{a}{b}\mapsto\begin{pmatrix}0\\a\\b/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot a+\begin{pmatrix}0\\0\\1/2\end{pmatrix}\cdot b=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\binom{a}{b}$$

ii) Nun ändert sich die Basis von \(P_2\) und wir definieren:$$P'_2=\{\alpha(1+x)+\beta(1-x)+\gamma x^2\,|\,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R\}$$Wir müssen das Ergebnis der \(f\)-Transformation auf die neue Basis umrechnen. In der neuen Basis ist \(x^2\) enthalten, da ist nichts zu tun. Allerdings fehlt uns nun \(x\), was wir aber aus den beiden neuen Basis-Elementen zusammenbauen können:$$\frac{(1+x)-(1-x)}{2}=\frac{2x}{2}=x$$Wir schreiben damit das Bild der Abbildung \(f\) um:$$f(p)=ax+\frac{b}{2}x^2=a\,\frac{(1+x)-(1-x)}{2}+\frac{b}{2}x^2=\frac{a}{2}(1+x)-\frac{a}{2}(1-x)+\frac{b}{2}x^2$$In Vektorschreibweise mit den Basen von \(P_1\) und \(P'_2\) heißt das:$$\binom{a}{b}\mapsto\begin{pmatrix}a/2\\-a/2\\b/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\\0\end{pmatrix}\cdot a+\begin{pmatrix}0\\0\\1/2\end{pmatrix}\cdot b=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0\\[1ex]-\frac{1}{2} & 0\\[1ex]0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\binom{a}{b}$$

Answer 2

aber ich verstehe nicht, inwiefern ein Integral eine Polynomfunktion sein kann

z.B.  ∫_o^t ( 3x^2 + 2x ) dx = t^3 + t^2  ist ein Polynom aus R[t].

und was ich mit den Basen anfangen soll.

In der i-ten Spalte der Matrix stehen die Faktoren die man benötigt um das Bild des

i-ten Basisvektors der 1. Basis mit den Vektoren der 2. Basis darzustellen.

Für i sind die Vektoren der 1. Basis die Polynome 1 und t die der

2. Basis 1 , t , t^2 .

f(1) = t also ist die erste Spalte der Matrix

0
1
0

und f(t) = 0,5t^2 , also kommt die zweite Spalte dazu

0    0
1    0
0    0,5

und die Matrix ist fertig.

Comments

Sorry, verstehe ich nicht. Warum ist f(t) = 0.5t^2 ? Ist das auf die Basen B und C bezogen? Falls ja, fehlt nicht noch eine Spalte, um t->t² darzustellen?