Zeigen Sie, dass dann das LGS mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A | b) eindeutig lösbar ist.

Question

Aufgabe 1 . Sei n ≥ 1, A = (a_ij)_ij ∈ M_n×n (ℝ), b ∈ ℝⁿ, so dass

(a) a_ij ≤ 0 für alle i, j mit i ≠ j,
(b)\( \sum\limits_{j=1}^{n}{a_{i j}} \)  ≥ 0 für alle i,
(c) Für jedes i gilt: \( \sum\limits_{j=1}^{n}{a_{i j}} \)  ≥ 0 oder es gibt ein j mit 1 ≤ j < i und aij < 0 .
Zeigen Sie, dass dann das LGS mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A | b) eindeutig lösbar ist.

Anleitung. Benutzen Sie vollständige Induktion. Zeigen Sie zuerst, dass a₁₁ > 0, und wenden Sie den Gauß-Algorithmus an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Also was mir dazu einfällt ist, dass es eine eindeutige Lösung gibt, falls rang(A)=rang(A | b)=n ist, ich weiß jetzt nicht was mir das hilft und vollständige Induktion in Kombination mit Matrizen habe ich nur mit vorgebener Matrix gesehen. Danke.

Comments

Hallo,

die Aufgabe ist nicht klar formuliert: Unter c) steht eine "oder"-Aussage. Die erste Aussage ist aber die Bedingung b), also erfüllt. c) ist dann sinnlos.

Gruß

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Wie könnte ich das machen, wenn ich c) dann ablehne, weil es sinnlos ist, wie Sie sagen?

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Du kannst es nicht weglassen. Du musst es nur korrigieren.

Die Bedingungen a) und b) alleine würden ja die Null-Matrix nicht ausschließen. So etwas muss ausgeschlossen werden. Es muss wohl irgendwie garantiert werden, dass die Diagonalelemente positiv sind oder....

Jedenfalls wirst Du dann die Formeln für den ersten Gauß-Schritte aufschreiben müssen und nachweisen, dass das resultierende System wieder die angegebenen Eigenschaften hat.

Gruß

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In c) sollte > sein und nicht ≥. Wie könnte man das jetzt machen?