Kettenregel - Man bestimme c'(2) für c(t) = f(g(t))

Question

Aufgabe: Kettenregel - Man bestimme \(c′(2)\) für \(c(t)=f(g(t))\)

Problem/Ansatz:

Es sei \(f(x,y)=x/y\) und \(x=g(t)\) mit \(g_1(t)=3\ln(t)\) und \(g_2(t)=1−t\).

Man bestimme \(c′(2)\) für \(c(t)=f(g(t))\).

Könnte mir hier eventuell jemanden Schritt für Schritt den Rechenweg aufschreiben.

Comments

Hab eben gesehen, dass die Zahlen nicht übernommen wurden. Die Angabe lautet:

f(x,y) = x/y und x = g(t) mit g1(t)=3 ln (t) und g2(t) = 1 - t. Man bestimme c'(2) für c(t) = f(g(t))

Answer 1

Aloha :)

Ich hoffe, dass ich die Funktionen richtig interpretiere:$$f(x_1,x_2)=\frac{x_1}{x_2}\quad;\quad \vec x=\vec g(t)=\binom{3\ln(t)}{1-t}\quad;\quad c(t)=f(\,\vec g(t)\,)$$Wir sollen die Ableitung \(c'(2)\) bestimmen. Dazu könnte man die Funktion \(c(t)\) explizit hinschreiben und nach \(t\) ableiten. Da in der Überschrift die Kettenregel erwähnt ist, vermute ich jedoch, dass die Ableitung mittels Kettenregel erfolgen soll:$$\frac{dc(t)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial \vec g}\cdot\frac{d\vec g}{dt}=\operatorname{grad}f(g_1,g_2)\cdot\frac{d\vec g}{dt}=\begin{pmatrix}\frac{1}{x_2}\\[1ex]-\frac{x_1}{x_2^2}\end{pmatrix}_{(x_1,x_2)=(g_1,g_2)}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{t}\\[1ex]-1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\frac{dc(t)}{dt}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{1-t}\\[1ex]-\frac{3\ln(t)}{(1-t)^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{t}\\[1ex]-1\end{pmatrix}=\frac{3}{t(1-t)}+\frac{3\ln(t)}{(1-t)^2}$$Speziell an der Stelle \(t=2\) finden wir:$$c'(2)=\frac{3}{-2}+\frac{3\ln2}{1}=\ln(8)-\frac{3}{2}\approx0,579442$$