Kettenregel - Man bestimme c'(2) für c(t) = f(g(t))

Question

Aufgabe: Kettenregel - Man bestimme $c′(2)$ für $c(t)=f(g(t))$

Problem/Ansatz:

Es sei $f(x,y)=x/y$ und $x=g(t)$ mit $g_1(t)=3\ln(t)$ und $g_2(t)=1−t$.

Man bestimme $c′(2)$ für $c(t)=f(g(t))$.

Könnte mir hier eventuell jemanden Schritt für Schritt den Rechenweg aufschreiben.

Comments

Hab eben gesehen, dass die Zahlen nicht übernommen wurden. Die Angabe lautet:

f(x,y) = x/y und x = g(t) mit g1(t)=3 ln (t) und g2(t) = 1 - t. Man bestimme c'(2) für c(t) = f(g(t))

Answer 1

Aloha :)

Ich hoffe, dass ich die Funktionen richtig interpretiere:$$f(x_1,x_2)=\frac{x_1}{x_2}\quad;\quad \vec x=\vec g(t)=\binom{3\ln(t)}{1-t}\quad;\quad c(t)=f(\,\vec g(t)\,)$$Wir sollen die Ableitung $c'(2)$ bestimmen. Dazu könnte man die Funktion $c(t)$ explizit hinschreiben und nach $t$ ableiten. Da in der Überschrift die Kettenregel erwähnt ist, vermute ich jedoch, dass die Ableitung mittels Kettenregel erfolgen soll:$$\frac{dc(t)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial \vec g}\cdot\frac{d\vec g}{dt}=\operatorname{grad}f(g_1,g_2)\cdot\frac{d\vec g}{dt}=\begin{pmatrix}\frac{1}{x_2}\\[1ex]-\frac{x_1}{x_2^2}\end{pmatrix}_{(x_1,x_2)=(g_1,g_2)}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{t}\\[1ex]-1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\frac{dc(t)}{dt}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{1-t}\\[1ex]-\frac{3\ln(t)}{(1-t)^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{t}\\[1ex]-1\end{pmatrix}=\frac{3}{t(1-t)}+\frac{3\ln(t)}{(1-t)^2}$$Speziell an der Stelle $t=2$ finden wir:$$c'(2)=\frac{3}{-2}+\frac{3\ln2}{1}=\ln(8)-\frac{3}{2}\approx0,579442$$