Ableitung mit Produkt und Kettenregel? f(x) = x / (1+x^2)^2, g(t)= e^t(2t-3)^5

Question

Zwei Funktionen ableiten und dann vereinfachen:

a. \( f(x)=\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \)

b. \( g(t)=e^{t}(2 t-3)^{5} \)

Ich probiere es mit der Produkt- und Kettenregel, aber ich komme nie auf das gewünschte Ergebnis.

Answer 1

Hi,

benutze die Quotientenregel:

 

v = (1+x²)²

v' = 2*(1+x²)*2

u = x

u' = 1

 

Einsetzen in f'(x) = (u'*v - u*v')/v^2

 

Das ist nicht weiter schwierig und spare ich mir jetzt. Multipliziere aber nicht gleich aus! Du wirst (1+x²) einmal ausklammern können und kannst kürzen. Dann ergibt sich vereinfacht:

f'(x) = (1-3x^2)/(x^2+1)^3

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Für g(t) = e^t(2t-3)^5

Produkt- und Kettenregel

g'(t) = e^t*(2t-3)^5 + e^t*5*(2t-3)^4 * 2 = (2t-3)^4*e^t ((2t-3) + 10) = (2t-3)^4*e^t (2t+7)

Answer 2

f(x) = x / (1+x^2)^2 |Produkt draus machen

= x * (1+x^2)^{-2}

f ' (x) = 1 * (1+x^2)^{-2} + x * (-2)*(x^2 +1)^{-3} * (2x) |Hauptnenner (x^2 + 1)^3

f ' (x) = (1+x^2) / (1+x^2)^3 - 4x^2 / (x^2 + 1)^3

= (1 - 3 x^2) / (x^2 + 1)^3

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+x+%2F+%281%2Bx%5E2%29%5E2+

g(t)= e^t (2t-3)^5
g' (t) = e^t (2t - 3)^5 + e^t * 5 * (2t-3)^4 * 2

= e^t (2t-3)^4 (2t -3 + 10) = (2t + 7)(2t-3)^4*e^t

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=g%28t%29%3D+e%5Et+%282t-3%29%5E5