\(f^{\prime}(x)>0 \text { für }|x|>2\\f^{\prime}(x)<0 \text { für }|x|<2\)
Also
(1) \(f'(2) = 0\)
und
(2) \(f'(-2) = 0\).
\(f^{\prime \prime}(x)<0 \text { für } x<0 \\ f^{\prime \prime}(x)>0 \text { für } x>0\)
Also
(3) \(f''(0) = 0\).
Zusammen mit den drei Funktionswerten hast du 6 Bedingungen. Der naive Ansatz wäre also eine ganzrationale Funktion fünften Grades:
\(f(x) = px^5 + qx^4 + rx^3 + sx^2 + tx + u\) .
Aufgrund der Symmetrie der gegebenen Funktionswerte zum Wendepunkt reicht aber eine ganzrationale Funktion dritten Grades:
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) .
Weil der Wendepunkt auf der y-Achse liegt, ist \(b = 0\). Als Ansatz reicht also :
\(f(x) = ax^3 + cx + d\) .
Außerdem kann man \(d = 4\) erkennen. Der Ansatz vereinfacht sich also zu:
\(f(x) = ax^3 + cx + 4\) .
Jetzt brauchst du nur noch die Gleichungen zu den Bedingungen
\(f(2) = 0\) .
und
\(f'(2) = 0\) .
aufzustellen und zu lösen. Anschließend musst du noch zeigen, dass die anderen vier Bedingungen durch die gefundene Funktion ebenfalls erfüllt sind.
