Was kommt nach den komplexen Zahlen?

Question

Wenn R die reellen Zahlen auf der Zahlgerade x auf dem Zahlrenstrahl

und I die imginären Zahlen auf der Gerade y mit zusammen C (R und I)als komplexe Zahlen in der Zahlenebene

gibt es eine 3. Dimension von Zahlen auf der Gerade z und damit eine Zahlenraum mit der Darstellung der 3 Dimensionen? Wie heißt dieser und wie definiert er sich (anlog zu  I i(hoch2)=-1)?

Comments

Quaternitonen sind eine mögliche Erweiterung. Das ist dann aber gleich 4-dimensional.

Welche Operation möchtest du denn gern noch haben? Komplexe Zahlen hat man ja z.B. eingeführt, damit x^2 = - 4 gelöst werden kann.

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Eine weitere Möglichkeit ist das Rechnen mit Vektoren in ganz normalen 3 Dimensionen.

Man kann eine komplexe Zahl ja auch als zweidimensionalen Vektor auffassen mit Realanteil und Imaginäranteil. Allerdings weicht das Rechnen mit komplexen Zahlen ein wenig von dem Rechnen mit den Vektoren ab. Aber es ist lustig da mal die Analogien zu notieren.

Answer 1

die komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) bilden den sogenannten algebraischen Abschluss der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \). Sie sind ein Körper, der den Körper der reellen Zahlen als Teilmenge enthält.

Im algebraischen Abschluss eines Körpers zerfällt jedes Polynom mit Koeffizienten dieses Körpers in Linearfaktoren. Mit anderen Worten hat nicht jedes Polynom mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} \) auch eine Nullstelle in \( \mathbb{R} \), aber es hat wenigstens eine Nullstelle in \( \mathbb{C} \).

Daher gibt es keine direkte Obermenge von \( \mathbb{C} \), die noch weitere Verallgemeinerungen bezüglich der Existenz von Nullstellen von Polynomen liefert. Wohl aber ist eine Obermenge \( \mathbb{X} \supset \mathbb{C} \) bezüglich anderer mathematischer Eigenschaften von \( \mathbb{C} \) denkbar (welche auch immer das sei).

MfG

Mister