Trassenführung wird durch eine trigonometrische Funktion bzw. durch eine ganzrationale Funktion realisiert

Question

Aufgabe Strandpromenade:

Der Aufgang der Strandpromenade zu einem \( 8 \mathrm{~m} \) hohen Deich soll in der Waagerechten \( 20 \mathrm{~m} \) lang sein. Das Planungsbüro erwägt mehrere Varianten.

a) Variante 1: Die Trassenführung wird durch eine trigonometrische Funktion durch die Punkte A und C realisiert. Dabei soll die Funktion in den Anschlusspunkten A und C die Steigung null haben. Geben Sie die Funktionsgleichung für diese Variante an. Zur Kontrolle: \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{20}(\mathrm{x}-10)\right)+4 \)

b) Variante 2: Die Trassenführung wird durch eine ganzrationale Funktion realisiert, die in den Anschlusspunkten \( \mathrm{A} \) und \( \mathrm{C} \) die Steigung null hat. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

c) Berechnen Sie für beide Lösungen den stärksten Anstieg.

d) Der Aufgang soll \( 2 \mathrm{~m} \) breit sein. Bei welcher Trasse wird weniger Sand als Untergrund benötigt?

e) Variante 3: Diese Variante sieht vor, die Punkte \( A \) und \( B \) durch eine Funktion \( h_{1}(x)=e^{a x}-b \) und die Punkte \( \mathrm{B} \) und \( \mathrm{C} \) durch eine Funktion \( \mathrm{h}_{2}(\mathrm{x})=10-\mathrm{ce}^{-\mathrm{dx}} \mathrm{zu} \) verbinden. Stellen Sie die Funktionsgleichungen auf.

f) Variante 3 soll nur dann vorgeschlagen werden, wenn in den Übergangspunkten \( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) und C der Winkel zwischen den beiden Trassenteilen bzw. zwischen jeweils einem Trassenteil und der unteren bzw. oberen Ebene kleiner als \( 10^{\circ} \) ist. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

Answer 1

a)

Es geht auch einfacher als die vorgeschlagene Lösung

f(x) = 4 - 4·COS(pi/20·x)

Comments

Die a) konnte ich lösen.

Bei der b) weiß ich nicht wie ich auf eine Ganzrationale Funktion komme.

Bei c) muss ich den Wendepunkt ausrechnen, das weiß ich.

Bei d) Integral von 0 bis 2

e) und f) komme ich auch nicht weiter

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b)

f(0)=0
f'(0)=0
f(20)=8
f'(20)=0

Nutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = -0,002·x^3 + 0,06·x^2

Answer 2

Es geht sogar ganz ohne Trigonometrie:

f(x)= - \( \frac{x^3}{500} \)+\( \frac{3x^2}{50} \):

Answer 3

b) Variante 2

Text erkannt:

Nullstellenform der kubischen Parabel: \( f(x)=a \cdot\left(x-N_{1}\right) \cdot\left(x-N_{2}\right) \cdot\left(x-N_{3}\right) \) \( A(0 \mid 0) \) Hier liegt eine zweifache Nullstelle:
\( f(x)=a \cdot x^{2} \cdot\left(x-N_{3}\right) \)
\( c(20 \mid 8) \)
\( f(20)=a \cdot 20^{2} \cdot\left(20-N_{3}\right) \)
\( a \cdot 20^{2} \cdot\left(20-N_{2}\right)=8 \)
\( a=\frac{1}{50 \cdot\left(20-N_{3}\right)} \)
\( f(x)=\frac{1}{50 \cdot\left(20-N_{3}\right)} \cdot\left[x^{2} \cdot\left(x-N_{3}\right)\right] \)
waagerechte Tangente in \( C(20 \mid 8) \)
\( f \cdot(20)=\frac{1}{50 \cdot\left(20-N_{3}\right)} \cdot\left[2 \cdot 20 \cdot\left(20-N_{3}\right)+20^{2}\right] \)
\( \frac{1}{50 \cdot\left(20-N_{3}\right)} \cdot\left[2 \cdot 20 \cdot\left(20-N_{3}\right)+20^{2}\right]=0 \)
\( \left[2 \cdot 20 \cdot\left(20-N_{2}\right)+20^{2}\right]=0 \)
\( N_{3}=30 \)
\( a=\frac{1}{50 \cdot(20-30)}=-\frac{1}{500} \)
\( f(x)=-\frac{1}{500} \cdot x^{2} \cdot(x-30) \)
Der stärkste Anstieg liegt im Wendepunkt:
Im Wendepunkt einer kubischen Parabel liegt Punktsymmetrie vor. Eine Gerade durch \( \mathrm{A}(0 \mid 0) \) und \( C(20 \mid 8) \) schneidet den Graph von \( f(x) \) im wendepunkt. Oder: Das arithmetische Mittel \( : W\left(\frac{20-0}{2} \mid \frac{8-0}{2}\right) \rightarrow W(10 \mid 4) \)
\( f \cdot(10)=\ldots \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Answer 4

b)

Die Funktion hat mindestens den Rang 3

$$f(x)= ax^3+bx^2 +cx+d$$$$f(0)=d=0$$$$f(20)=a*8000+b*400 +c*20=8$$$$f'(x)=a*3x^2+b*2x+c=0$$$$f'(0)=c=0$$$$f'(20)=a*1200+b*40=0$$$$b=-a*30=0,06$$$$a*8000-a*12000=8$$$$a=-0,002$$$$f(x)= -0,002x^3+0,06x^2$$

Answer 5

Für alle, die nächstes oder übernächstes Jahr hier vorbeischauen:
a), b), c) wurden schon von anderen Usern ausführlich erklärt.
- bei der d) das Integral von 0 bis 20 für f(x) und g(x) (g ist die ganzrationale Funktion). Dabei kommt dasselbe Ergebnis heraus, somit wird bei beiden gleich viel Sand benötigt.
- die e) wird komplizierter und ich hoffe das reicht, wie ich es beschreibe:
Lösung für h1(x): Punkte (0/0) und (10/4) einsetzen, dann ganz normal nach a auflösen. Beachte: Etwas hoch 0=1
h1(x)=e^0,16x -1
Lösung für h2(x): Punkte (10/4) und (20/8) einsetzen. Rechne die ganzen Zahlen zusammen und forme so um, dass -ce^-10d und -ce^-20d positiv werden. Teile am Ende durch c und bei einer Gleichung musst du noch mit 3 multiplizieren, damit du auf beiden Seiten 6/c erhältst. Gleichungssystem auflösen, beachte: e^-10d/e^-20d=e^10d. Sodass du am Ende e^10d=3 erhältst. Nach d mit dem ln auflösen. Danach d in eine der beiden vorherigen Gleichungen einsetzen.
h2(x)=10-18e^-0,11x
- nun zur f). Hier einfach die Ableitungen von h1(x) und h2(x) ausrechnen und dann h1'(0) ausrechnen. Das Ergebnis (0,16) mit dem arctan rechnen, somit kommt man auf einen Winkel von 9,09°. Bei dem Punkt in der Mitte das Gleiche, sowohl für h1'(10) als auch für h2'(10) und die Winkel voneinander subtrahieren. 38,31°-33,42°=4,89°. Dann noch für den letzten Punkt h2'(20) den Winkel berechnen. Dabei kommt man auf 12,4°, weshalb im Sachzusammenhang Variante 3 nicht vorgeschlagen werden kann, weil der Winkel größer als 10° ist.

Ich hoffe ich konnte euch damit ein bisschen helfen <3

Falls ihr Fragen habt, versuche ich sie gerne zu beantworten.

Comments

Alles ab der e) ist für mich leider unverständlich.

Kannst du / jemand anderes bitte nochmal genauer erläutern, wie man vorgehen muss bzw. am besten dazu Notizen hochladen?

Grüße Griffindor01