Ganzrationale Funktion 4. Grades. x-Achse an wird an Stellen x1= -3 und x2= 3, Ordinatenachse bei y= - 5 geschnitten

Question

Gesucht ist eine  ganzrationale Funktion 4. Grades.

Gegeben ist: x - Achse an den Stellen x1= -3 und x2= 3

Und die ordinatenachse wird bei y= - 5 geschnitten

Wie lautet die Formel?

Comments

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt in ihrer Polynomdarstellung fünf Parameter, es werden also auch fünf Bedingungen benötigt, um die Funktion eindeutig bestimmen zu können. Deine Beschreibung enthält drei Bedingungen... gibt es vielleicht noch eine Symmetrie-Aussage?

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Hi Linda,

hast Du mal ein Bild der Aufgabe? Mir scheinen das nicht genügend Informationen zu sein.

Theoretisch könnte man mit dem Ansatz y = ax^4 + bx^2 + c rangehen, wobei c = -5 direkt abzulesen ist. Für a und b kann man noch f(3) = 0 verwenden. Die Information f(-3) = 0 ist aber durch die angenommene Symmetrie schon abgedeckt und kann deshalb nicht zur Bestimmung von a und b verwendet werden.

Grüße

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Das ist aber die Aufgabe! Mehr Infos bekommen wir nicht, aber ich kann ja heute Nachmittag gerne mal die Aufgabe als Bild hochladen.

Answer 1

Hallo Linda,

>  Gesucht ist  eine  ganzrationale Funktion 4. Grades

Die Funktionen, die deinen Bedingungen genügen, kann man in der Form

f(x)  =  a · (x - 3) · (x + 3) · (x^2 + b·x + c)   schreiben.

Damit sind die beiden Nullstellen x = ± 3  berücksichtigt.

f(0) = - 5   ergibt  - 9·a·c = -5  , also  9ac = 5

Wenn es keine weiteren Bedingungen gibt,  ist jede  (#)  der Funktionen, die  diese  Bedingung erfüllt, eine Lösung der Aufgabe.

Zum Beispiel  a = 1 ,  b = 0   und   c = 5/9  :

f(x)  =  (x + 3) · (x - 3) · (x^2 + 5/9)  =  x^4 - 76·x^2/9 - 5  

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(#)

Wenn x_1,2 = ± 3   die einzigen Nullstellen sein sollen, muss zusätzlich

x^2 + b·x + c ≠ 0   ( ⇔  b² / 4  - c  < 0  )  gelten, was in dem Beispiel auch erfüllt ist.

Gruß Wolfgang