Wie bestimme ich die eulerische form, wenn ich 2i/1-i gegeben habe?

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich die eulerische form, wenn ich 2i/1-i gegeben habe?

Problem/Ansatz:

Muss ich eventuell erstmal erweitern und dann den betrag und abschließend den Winkel bestimmen? Kann mir jemand einen link schicken wo mir erklärt wird, wie ich das bei brüchen mache?

Answer 1

Aloha :)

Ich schlage vor, den Term zunächst so umzuformen, dass wir Real- und Imaginärteil getrennt haben:$$z=\frac{2i}{1-i}=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i+2i^2}{1^2-i^2}\stackrel{(i^2=-1)}{=}\frac{2i-2}{1+1}=\frac{2(i-1)}{2}=-1+i$$Davon können wir die Euler'sche Form gut angeben:$$z=\sqrt{1^2+1^2}\,e^{i\,(\arctan\left(\frac{1}{-1}\right)+\pi)}=\sqrt2\,e^{i\,3\pi/4}$$Beachte, dass zu dem Wert, den die \(\arctan\)-Funktion liefert, der Wert \(\pi\) addiert werden muss, weil der Realteil negativ ist. Bei positivem Realteil ist diese Korrektur nicht nötig.

Comments

Vielen Dank. Hab meinen Fehler jetzt gefunden.

Answer 2

Kannst du Zähler und Nenner des Bruches alleine in die e-Form umwandeln?

[spoiler]

2·e^(1/2·pi·i) / (√2·e^(- 1/4·pi·i)) = √2·e^(3/4·pi·i)

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Comments

Und wie komm ich jetzt auf dieses Ergebnis. Ich kann das nicht nachvollziehen.

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Dann solltest du vermutlich nochmals die Potenzgesetzte nachschlagen.