Nullstellen Komplexes Polynom: p(z) = z^3+(1-2i)*z^2-(1+i)z

Question

ich soll alle Nulstellen bestimmen

am besten noch ohne die verwendung eines Taschenrechners

p(z) = z^3+(1-2i)*z^2-(1+i)z

Answer 1

klammer einmal z aus, z=0 ist somit eine Lösung.

Du erhältst eine quadratische Gleichung. Nutze die pq-Formel oder quadratische Ergänzung zu Lösung.

Am Ende wirst du die Wurzel einer komplexen Zahl w ziehen müssen. Dies ist entweder machbar indem du w in Polarform bringst,oder durch den Ansatz w=q^2, mit q=x+iy und dann Koeffizientenvergleich. 

Answer 2

Neben der bekannten Ausklammerung von z

z*(z^2+(1-2 i)*z-(1+i)) = 0

die per p-q-Lösungsformel auch mit komplexen Faktoren funktioniert,

gibt es noch die 

Lösungsweg 2: explizite PQRST-Formel für Gleichungen 3. Grades.

Damit http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

darauf anspringt und nicht das z (bzw. x) ausklammert, setzt man den Offset extrem klein ein:

Dieser super einfache Spezialfall kann von einigen "Spezialisten" auch gleich in

z * (z-i) * (z+(1-i)) = 0 gewandelt werden, wo man durch "Nullproduktsatz" gleich alles sieht :-)

Answer 3

\(p(z) = z^3+(1-2i) \cdot z^2-(1+i)z\)

\( z^3+(1-2i) \cdot z^2-(1+i) \cdot z=0\)

\( z \cdot [z^2+(1-2i) \cdot z-(1+i)]=0\)

\( z_1=0\)

\( z^2+(1-2i) \cdot z-(1+i)=0\)

\( z^2+(1-2i) \cdot z=(1+i)\)

\( z^2+(1-2i) \cdot z+(\frac{1-2i}{2})^2=(1+i)+(\frac{1-2i}{2})^2\)

\( (z+\frac{1-2i}{2})^2=(1+i)+\frac{1-4i+4i^2}{4}=(1+i)+\frac{1-4i-4}{4}=\frac{1}{4}        |±\sqrt{~~}\)

\( 1.)      \)

\( z+\frac{1}{2}-i=\frac{1}{2}        \)

\( z_1=i       \)

\( 2.)      \)

\( z+\frac{1}{2}-i=-\frac{1}{2}        \)

\( z_2=-1+i     \)