Es sei M = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Berechnen Sie A ∩ B ∩ C etc.

Question

Aufgabe:

Es sei M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Wir betrachten die Teilmengen A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 5, 6} und
C = {1, 2, 3, 4}.

Berechnen Sie
A ∩ B ∩ C,     'A ∩ B ∩ 'C,      (A ∩ 'B) ∪ C,         (A ∪ B) \ C.

Problem/Ansatz:

A ∩ B ∩ C= {1,3,5,7} n {1,2,5,6} n {1,2,3,4} = {1}

'A ∩ B ∩ 'C= {2,4,6} n {1,2,5,6} n {5,6,7} = {6}

(A ∩ 'B) ∪ C= {1,3,5,7} n {3,4,7} u {1,2,3,4} = {3,4,7} 

(A ∪ B) \ C= {1,3,5,7} u {1,2,5,6} \ {1,2,3,4} = {5,6,7}

* ' = Ist dieser langgezogene Strich über den Buchstaben' hab das hier nicht hinbekommen*

n = Schnittmenge,     u = Vereinigung

Ist meine Lösung richtig oder haben sich dort Fehler eingeschlichen? Beim dritten bin ich mir nicht ganz sicher und auch nicht, ob das so richtig ist ohne die 8 aus der Gesamtmenge, da hier ja nur die Teilmengen berücksichtigt werden sollten

Ich bin für jede Hilfe/Verbesserung dankbar.

Answer 1

Hallo,
deine ersten beiden Lösungen sind richtig und die letzte auch.
Bei der dritten kommt folgendes raus:

$$ (A \cap \bar{B}) \cup C=(\{1,3,5,7\} \cap\{3,4,7,8\}) \cup\{1,2,3,4\}=\{3,7\} \cup\{1,2,3,4\}=\{1,2,3,4,7\} $$Für die Negation gilt folgendes:

$$ \begin{array}{l} \bar{A}=\{2,4,6,8\} \\ \bar{B}=\{3,4,7,8\} \\ \bar{C}=\{5,6,7,8\} \end{array} $$

Comments

Danke, aber warum kommt bei der dritten die 8 vor und bei den anderen nicht oder ist das egal, weil es nichts am Ergebnis ändern würde?

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$$\text{Die 8 kommt vor weil dort steht } \bar{B} \text{. Also das ist die Negation von B.}\\ \text{Da in der Ausgangsmenge die 8 aber vorhanden ist, gehört diese in der Negation von 8 mit dazu.} $$

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Kleiner Fehler in meinem Kommentar.

Es muss heißen "Da in der Ausgangsmenge die 8 aber vorhanden ist, gehört diese in der Negation von B mit dazu"

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Ok, also ich habe gerade festgestellt, dass deine Ergebnisse (die ersten beiden und das letzte) in deiner Frage richtig sind, allerdings hast du auch immer die 8 vergessen mit zu betrachten bei den Negationen. Das musst du noch korrigieren. Ändert aber nichts an deinem Ergebnis. Vermutlich war deshalb auch die 3 Aufgabe falsch bei dir.

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Ja genau deshalb ich mich auch gewundert. Hab jetzt die 8 dazugeschrieben in meinen Unterlagen, danke nochmal

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Also praktisch so hier schlussendlich:

$$ \begin{array}{l} A \cap B \cap C=\{1,3,5,7\} \cap\{1,2,5,6\} \cap\{1,2,3,4\}=\{1\} \\ \bar{A} \cap B \cap \bar{C}=\{2,4,6,8\} \cap\{1,2,5,6\} \cap\{5,6,7,8\}=\{6\} \\ (A \cap \bar{B}) \cup C=(\{1,3,5,7\} \cap\{3,4,7,8\}) \cup\{1,2,3,4\}=\{3,7\} \cup\{1,2,3,4\}=\{1,2,3,4,7\} \\ (A \cup B) \backslash C=(\{1,3,5,7\} \cup\{1,2,5,6\}) \backslash\{1,2,3,4\}=\{1,2,3,5,6,7\} \backslash\{1,2,3,4\}=\{5,6,7\} \\ \bar{A}=\{2,4,6,8\} \\ \bar{B}=\{3,4,7,8\} \\ \bar{C}=\{5,6,7,8\} \end{array} $$Gern geschehen :)