Beweis über die Dreiecksungleichung so richtig?

Question

Aufgabe:

Beweis über die Dreiecksungleichung

Problem/Ansatz:

Hallo, meine Aufgabe besteht darin, über die Dreiecksungleichung zu zeigen, dass:

| |x| - |y| | <= |x - y|.

Ich habe einen Beweisansatz, nur bin ich mir da ziemlich unsicher. Wäre sehr nett, wenn da jemand drüber gucken könnte.

1.Fall:

Sei | |x| - |y| | >= 0, dann | |x| - |y| | = |x| - |y|.

Seien x,y > 0, dann gilt: |x| - |y| = x - y.    x - y <= |x| - |y| = |-x| - |-y| = -x - (-y) = -(x-y) = |x - y|.

Seien x,y < 0 dann gilt: [x] - [y] = -(x-y)  = -x - (-y) = |-x| - |-y| = -x - (-y) = -(x-y) = |x - y|.

Sei x > 0 und y < 0 dann gilt: |x| - |y| = x - (-y) = |x| - |-y| = |-x| - |-y| = -x - (-y) = -(x-y) = |x - y|.

Sei x < 0 und y > 0 dann gilt: |x| - |y| = -x - y = |-x| - |y| = |-x| - |-y| = -x - (-y) = -(x-y) = |x - y|.

2.Fall:

Sei | |x| - |y| | < 0, dann | |x| - |y| | = -(|x| - |y|) = |-x| - |-y| = |x| - |y|, also verfahre wie im ersten Fall.

Habe ich etwas falsch verstanden ? Sind die Umformungen so gültig ? Dankeschön im voraus

Answer 1

du musst auf deine Äquivalenzumformungen aufpassen.

Du hast geschrieben:

|-x| - |-y| = -x - (-y)

Wenn wir aber für \( x = 1 \) und \( y = 2 \) einsetzen, erhalten wir:

\( |-1| - |-2| = 1 - 2 = -1 \neq 1 = -1 + 2 = -1 - (-2)\).

Da musst du nochmal drüber schauen und ggf. mal Werte für \(x\) und \(y\) einsetzen, um zu schauen, ob es passt.

Wenn du \( |a+b| \leq |a| + |b| \) verwenden darfst, würde ich dir empfehlen, mal mit

\( |x| = |x - y + y| \leq |x - y| + |y| \)

anzufangen. Ist sogar weniger Schreibarbeit und du musst nicht so viele Fallunterscheidungen machen.

Lg

Answer 2

Aloha :)

Uff, ich verstehe schon beim Fall \(x,y>0\) den Schritt \(|-x| - |-y| = -x - (-y)\) nicht. Das mit der Fallunterscheidung ist recht fehleranfällig. Da kann man sich leicht vertun.

Mein Vorschlag wäre, auf der Dreiecksungleichung aufzubauen. Dazu setze:$$u=x+y\quad;\quad v=-y$$Nach der Dreiecksungleichung gilt dann:$$\phantom{\Leftrightarrow}\;|u+v|\le|u|+|v|$$$$\Leftrightarrow\;|x+y-y|\le|x+y|+|-y|$$$$\Leftrightarrow\;|x|\le|x+y|+|y|$$$$\Leftrightarrow\;|x+y|\ge|x|-|y|\qquad(\text{Gl. 1})$$Darin kannst du \(x\) und \(y\) auch vertauschen, sodass:$$\phantom{\Leftrightarrow}\;|y+x|\ge|y|-|x|=-(|x|-|y|)$$$$\Leftrightarrow\;|x+y|\ge-(|x|-|y|)\qquad\text{(Gl. 2)}$$Gl. 1 und Gl. 2 können wir zusammenfassen zu:$$|x+y|\ge|\,|x|-|y|\,|$$Ersetzen wir darin \(y\) durch \(-y\) folgt die Behauptung:$$|x-y|\ge|\,|x|-|-y|\,|=\left|\,|x|-|y|\,\right|$$