Aloha :)
Es ist \(\pm a\le|a|\) und \(\pm b\le|b|\), daher gilt:$$a+b\le|a|+|b|\quad\text{und}\quad-(a+b)=(-a)+(-b)\le|a|+|b|$$Zusammengefasst liefert das die Dreiecksungleichung:$$|a+b|\le |a|+|b|$$
Damit gilt nun aber auch:$$|a|=|a-b+b|\le|a-b|+|b|\;\Longleftrightarrow\;|a|-|b|\le|a-b|$$$$|b|=|b-a+a|\le|b-a|+|a|\;\Longleftrightarrow\;|b|-|a|\le|b-a|\;\Longleftrightarrow\;-(|a|-|b|)\le|a-b|$$Zusammengefasst liefert das die umgekehrte Dreiecksungleichung:$$||a|-|b||\le|a-b|$$
Es gilt übrigens weiter:$$|a-b|=|a+(-b)|\le|a|+|-b|=|a|+|b|$$
