Betrachte die folgenden drei Funktionen von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen: Injektiv, Surjektiv oder Bijektiv?

Question

ich verstehe nicht ganz, wie ich folgende Aufgabe beweisen soll:

Betrachte die folgenden drei Funktionen von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen:
(a) f : Z → Z; n → 2n
(b) g : Z → Z; n → 2n + 5
(c) h : Z → Z; n → n^2 + 5
Entscheiden Sie, ob die Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind, und beweisen Sie, dass
Ihre Entscheidung jeweils korrekt ist.

Ansatz:

a) f(n) = f(m) = 2n = 2m und daraus folgt n = m, also injektiv. Surjektiv: ? Bijektiv: ?

bei b und c bin ich mir auch nicht wirklich sicher, ob das so funktioniert

Comments

Ich hätte erst gesagt, dass die a) Bijektiv ist...

Ist sie Injektiv, weil die y werte wie 3 und -3 kein Bild in x haben?

Also weil 1,5 und -1,5 nicht in Z ist?

Und was heißt das: "f(n) = f(m) = 2n = 2m"?

Answer 1

Hallo, der Anfang zu a) sieht gut aus.

f(n) = f(m) = 2n = 2m und daraus folgt n = m, also injektiv.

Korrekt.

Zur Surjektivität gilt ja: Für alle \(y\in \mathbb{Z}\) gibt es ein \(x\in \mathbb{Z}\), sodass \(f(x)=y\) gilt. Naja, dann sucht man also: Für beliebige \(y\in \mathbb{Z}\) betrachte also \(2x=y\) bzw., \(x=\frac{y}{2}\). Dieser Ausdruck ist offenbar auch nicht immer ganzzahlig, genauer für alle ungeraden ganzen Zahlen, zb mit \(y=3\), findet man kein \(x\in \mathbb{Z}\), sodass

\(f(x)=y\) gilt. Also ist \(f\) injektiv und nicht surjektiv.